Найди производную функции $\frac{x^5 + x^3 + x}{x+1}$

Привет! Давай найдём производные этих функций. Это очень похоже на то, как мы считаем скорость изменения чего-то. ### 1) $\frac{x^5 + x^3 + x}{x+1}$ Чтобы найти производную дроби, мы используем специальное правило: если у тебя есть функция $\frac{u}{v}$, то её производная будет $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае: $u = x^5 + x^3 + x$ $v = x+1$ Сначала найдём производные от $u$ и $v$: $u' = (x^5 + x^3 + x)' = 5x^{5-1} + 3x^{3-1} + 1 = 5x^4 + 3x^2 + 1$ $v' = (x+1)' = 1 + 0 = 1$ Теперь подставим это в формулу для производной дроби: $$ \left(\frac{x^5 + x^3 + x}{x+1}\right)' = \frac{(5x^4 + 3x^2 + 1)(x+1) - (x^5 + x^3 + x)(1)}{(x+1)^2} $$ Давай раскроем скобки в числителе: $(5x^4 + 3x^2 + 1)(x+1) = 5x^4 \cdot x + 5x^4 \cdot 1 + 3x^2 \cdot x + 3x^2 \cdot 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot 1 = 5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1$ Теперь вычтем из этого $(x^5 + x^3 + x)$: $5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1 - x^5 - x^3 - x$ Приведём подобные слагаемые (соберём вместе $x^5$ с $x^5$, $x^4$ с $x^4$ и так далее): $(5x^5 - x^5) + 5x^4 + (3x^3 - x^3) + 3x^2 + (x - x) + 1 = 4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1$ Итак, производная функции 1): **Ответ: $\frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x+1)^2}$** ### 2) $\frac{\sqrt{x} + x^2 + 1}{x-1}$ Здесь тоже будем использовать то же правило для производной дроби. В нашем случае: $u = \sqrt{x} + x^2 + 1 = x^{\frac{1}{2}} + x^2 + 1$ $v = x-1$ Найдём производные от $u$ и $v$: $u' = (x^{\frac{1}{2}} + x^2 + 1)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 2x^{2-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 2x = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x$ $v' = (x-1)' = 1 - 0 = 1$ Теперь подставляем в формулу: $$ \left(\frac{\sqrt{x} + x^2 + 1}{x-1}\right)' = \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x\right)(x-1) - (\sqrt{x} + x^2 + 1)(1)}{(x-1)^2} $$ Давай раскроем скобки в числителе: $\left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x\right)(x-1) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot x - \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 1 + 2x \cdot x - 2x \cdot 1 = \frac{x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 - 2x$ Мы можем упростить $\frac{x}{2\sqrt{x}}$ как $\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{2}$. Значит, первая часть числителя: $\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 - 2x$ Теперь вычтем из этого $(\sqrt{x} + x^2 + 1)$: $\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 - 2x - \sqrt{x} - x^2 - 1$ Приведём подобные слагаемые: $(2x^2 - x^2) + (-2x) + \left(\frac{\sqrt{x}}{2} - \sqrt{x}\right) - \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$ $x^2 - 2x + \left(\frac{1}{2}\sqrt{x} - 1\sqrt{x}\right) - \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$ $x^2 - 2x - \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$ Итак, производная функции 2): **Ответ: $\frac{x^2 - 2x - \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1}{(x-1)^2}$**