Реши уравнения а) $\frac{4 - 0,2x}{8} = 0,5 \cdot 2,4 - 3x$, б) $4^{x+1} + 4^{x+2} = 40$, в) $9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$, г) $2^{2x+1} \cdot 3^{2x} = 2 \cdot 12^{4-x}$, д) $\frac{0,2 \cdot 5^{0,2-x}}{125} = 25^{2x-1}$, е) $3^{x-1} - 3^{x-2} = 18$, ж) $4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60$, з) $2^{2x-1} \cdot 3^x = 0,5 \cdot 12^{4-x}$

Привет! Давай разберемся с этими интересными уравнениями. Будем решать их по порядку. ### a) Нам нужно решить уравнение: $$?rac{4 - 0,2x}{8} = 0,5 \cdot 2,4 - 3x$$ Сначала упростим правую часть: $$0,5 \cdot 2,4 = 1,2$$ Теперь уравнение выглядит так: $$?rac{4 - 0,2x}{8} = 1,2 - 3x$$ Чтобы избавиться от деления на 8, умножим обе части уравнения на 8: $$4 - 0,2x = 8 \cdot (1,2 - 3x)$$ $$4 - 0,2x = 9,6 - 24x$$ Теперь соберем все "иксы" в одну сторону, а числа в другую. Перенесем -24x влево со знаком плюс, а 4 вправо со знаком минус: $$-0,2x + 24x = 9,6 - 4$$ $$23,8x = 5,6$$ Чтобы найти $x$, разделим 5,6 на 23,8: $$x = ?rac{5,6}{23,8}$$ $$x = ?rac{56}{238}$$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $$x = ?rac{28}{119}$$ **Ответ:** $x = \frac{28}{119}$ ### б) Решаем уравнение: $$4^{x+1} + 4^{x+2} = 40$$ Мы можем вынести общий множитель $4^{x+1}$ за скобки: $$4^{x+1} \cdot (1 + 4^1) = 40$$ $$4^{x+1} \cdot (1 + 4) = 40$$ $$4^{x+1} \cdot 5 = 40$$ Разделим обе части на 5: $$4^{x+1} = ?rac{40}{5}$$ $$4^{x+1} = 8$$ Теперь нам нужно привести обе части к одному основанию. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$. Подставим это: $$(2^2)^{x+1} = 2^3$$ $$2^{2(x+1)} = 2^3$$ $$2^{2x+2} = 2^3$$ Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны: $$2x+2 = 3$$ $$2x = 3 - 2$$ $$2x = 1$$ $$x = ?rac{1}{2}$$ **Ответ:** $x = \frac{1}{2}$ ### в) Решаем уравнение: $$9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$$ Приведем все степени к основанию 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$. Также $3^{2x+4} = 3^{2x} \cdot 3^4$: $$(3^2)^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$$ $$3^{2(x+1)} + 3^{2x+4} = 30$$ $$3^{2x+2} + 3^{2x+4} = 30$$ Вынесем общий множитель $3^{2x+2}$ за скобки: $$3^{2x+2} \cdot (1 + 3^2) = 30$$ $$3^{2x+2} \cdot (1 + 9) = 30$$ $$3^{2x+2} \cdot 10 = 30$$ Разделим обе части на 10: $$3^{2x+2} = ?rac{30}{10}$$ $$3^{2x+2} = 3$$ Мы можем записать 3 как $3^1$. Тогда: $$3^{2x+2} = 3^1$$ Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны: $$2x+2 = 1$$ $$2x = 1 - 2$$ $$2x = -1$$ $$x = -?rac{1}{2}$$ **Ответ:** $x = -\frac{1}{2}$ ### г) Решаем уравнение: $$2^{2x+1} \cdot 3^{2x} = 2 \cdot 12^{4-x}$$ Здесь нужно использовать свойства степеней и разложить числа на простые множители. Мы знаем, что $12 = 2^2 \cdot 3$. Подставим это: $$2^{2x+1} \cdot 3^{2x} = 2^1 \cdot (2^2 \cdot 3)^{4-x}$$ $$2^{2x+1} \cdot 3^{2x} = 2^1 \cdot (2^2)^{4-x} \cdot 3^{4-x}$$ $$2^{2x+1} \cdot 3^{2x} = 2^1 \cdot 2^{2(4-x)} \cdot 3^{4-x}$$ $$2^{2x+1} \cdot 3^{2x} = 2^1 \cdot 2^{8-2x} \cdot 3^{4-x}$$ Теперь объединим степени с одинаковым основанием 2 в правой части: $$2^{2x+1} \cdot 3^{2x} = 2^{1 + 8-2x} \cdot 3^{4-x}$$ $$2^{2x+1} \cdot 3^{2x} = 2^{9-2x} \cdot 3^{4-x}$$ Для того чтобы равенство было верным, показатели степеней с одинаковыми основаниями должны быть равны. То есть: Для основания 2: $$2x+1 = 9-2x$$ Для основания 3: $$2x = 4-x$$ Давай решим первую систему уравнений для $x$: $$2x+1 = 9-2x$$ $$2x+2x = 9-1$$ $$4x = 8$$ $$x = ?rac{8}{4}$$ $$x = 2$$ Теперь проверим это значение во втором уравнении: $$2x = 4-x$$ $$2(2) = 4-2$$ $$4 = 2$$ Это неверно, 4 не равно 2. Это значит, что наше изначальное допущение о равенстве степеней для каждого основания не совсем правильное в данном виде. Нужно было бы сначала сгруппировать все слагаемые с одним основанием по одну сторону. Давай попробуем по-другому. Разделим обе части уравнения на $2^{9-2x} \cdot 3^{2x}$: $$?rac{2^{2x+1} \cdot 3^{2x}}{2^{9-2x} \cdot 3^{4-x}} = 1$$ $$?rac{2^{2x+1}}{2^{9-2x}} ?rac{3^{2x}}{3^{4-x}} = 1$$ Используем свойство $?rac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$2^{(2x+1)-(9-2x)} \cdot 3^{2x-(4-x)} = 1$$ $$2^{2x+1-9+2x} \cdot 3^{2x-4+x} = 1$$ $$2^{4x-8} \cdot 3^{3x-4} = 1$$ Чтобы произведение двух чисел равнялось 1, нужно, чтобы каждое из них было равно 1 (если речь идет о степенях, где основание не равно 1). Но $2^0=1$ и $3^0=1$. Поэтому, показатели степеней должны быть равны 0. $$4x-8 = 0$$ $$4x = 8$$ $$x = 2$$ И для второй степени: $$3x-4 = 0$$ $$3x = 4$$ $$x = ?rac{4}{3}$$ Мы получили два разных значения $x$. Это означает, что уравнение не имеет решения, если мы говорим о целых или рациональных степенях. Но, возможно, нужно подогнать так, чтобы $2^{4x-8}$ и $3^{3x-4}$ были $1$ при одном и том же $x$. Так как это не происходит, решения нет. **Допущение:** Если только один из множителей должен быть 1, то это не так просто. Однако, если мы посмотрим на форму записи, это выглядит как типичное уравнение на сравнение показателей. Давай перепроверим условие. Скорее всего, здесь есть ошибка в постановке задачи, если речь идет о стандартном равенстве. Или же, предполагается, что $x$ может быть таким, что вся левая часть будет равна правой, а не то, что обе степени равны 0. Если бы $2^{4x-8} \cdot 3^{3x-4} = 1$, то $2^{4x-8} = ?rac{1}{3^{3x-4}} = 3^{-(3x-4)}$. Это очень сложное трансцендентное уравнение, которое школьникам не дают решать. Поскольку это школьное задание, скорее всего, оно имеет более простое решение. Давай посмотрим на то, как это могло быть записано, если бы это было уравнение, которое сводится к $a^x = a^y$ или подобному. Если бы $2^{2x+1} = 2^{9-2x}$ и $3^{2x} = 3^{4-x}$ при одном и том же $x$, то это бы решилось. Но мы уже выяснили, что это приводит к разным $x$. Возможно, это простое сравнение: $2^{2x+1} = 2^{9-2x}$ $3^{2x} = 3^{4-x}$ Из первого: $2x+1 = 9-2x \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2$ Из второго: $2x = 4-x \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$ Так как значения $x$ не совпадают, то общего решения нет. **Ответ:** Нет решения. ### д) Решаем уравнение: $$?rac{0,2 \cdot 5^{0,2-x}}{125} = 25^{2x-1}$$ Приведем все к основанию 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Также $0,2 = ?rac{2}{10} = ?rac{1}{5} = 5^{-1}$. Подставляем: $$?rac{5^{-1} \cdot 5^{0,2-x}}{5^3} = (5^2)^{2x-1}$$ $$?rac{5^{-1 + 0,2-x}}{5^3} = 5^{2(2x-1)}$$ $$?rac{5^{-0,8-x}}{5^3} = 5^{4x-2}$$ Используем свойство $?rac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$5^{-0,8-x-3} = 5^{4x-2}$$ $$5^{-3,8-x} = 5^{4x-2}$$ Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны: $$-3,8-x = 4x-2$$ Перенесем $x$ в одну сторону, числа в другую: $$-3,8 + 2 = 4x + x$$ $$-1,8 = 5x$$ Чтобы найти $x$, разделим -1,8 на 5: $$x = ?rac{-1,8}{5}$$ $$x = -0,36$$ **Ответ:** $x = -0,36$ ### е) Решаем уравнение: $$3^{x-1} - 3^{x-2} = 18$$ Вынесем $3^{x-2}$ за скобки, так как это наименьшая степень: $$3^{x-2} \cdot (3^1 - 1) = 18$$ $$3^{x-2} \cdot (3 - 1) = 18$$ $$3^{x-2} \cdot 2 = 18$$ Разделим обе части на 2: $$3^{x-2} = ?rac{18}{2}$$ $$3^{x-2} = 9$$ Мы знаем, что $9 = 3^2$. Подставим: $$3^{x-2} = 3^2$$ Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны: $$x-2 = 2$$ $$x = 2 + 2$$ $$x = 4$$ **Ответ:** $x = 4$ ### ж) Решаем уравнение: $$4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60$$ Приведем все к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$: $$(2^2)^{x+1} - 2^{2x-2} = 60$$ $$2^{2(x+1)} - 2^{2x-2} = 60$$ $$2^{2x+2} - 2^{2x-2} = 60$$ Вынесем $2^{2x-2}$ за скобки, так как это наименьшая степень: $$2^{2x-2} \cdot (2^4 - 1) = 60$$ $$2^{2x-2} \cdot (16 - 1) = 60$$ $$2^{2x-2} \cdot 15 = 60$$ Разделим обе части на 15: $$2^{2x-2} = ?rac{60}{15}$$ $$2^{2x-2} = 4$$ Мы знаем, что $4 = 2^2$. Подставим: $$2^{2x-2} = 2^2$$ Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны: $$2x-2 = 2$$ $$2x = 2 + 2$$ $$2x = 4$$ $$x = ?rac{4}{2}$$ $$x = 2$$ **Ответ:** $x = 2$ ### з) Решаем уравнение: $$2^{2x-1} \cdot 3^x = 0,5 \cdot 12^{4-x}$$ Разложим числа на простые множители. Мы знаем, что $0,5 = ?rac{1}{2} = 2^{-1}$ и $12 = 2^2 \cdot 3$. Подставим: $$2^{2x-1} \cdot 3^x = 2^{-1} \cdot (2^2 \cdot 3)^{4-x}$$ $$2^{2x-1} \cdot 3^x = 2^{-1} \cdot (2^2)^{4-x} \cdot 3^{4-x}$$ $$2^{2x-1} \cdot 3^x = 2^{-1} \cdot 2^{2(4-x)} \cdot 3^{4-x}$$ $$2^{2x-1} \cdot 3^x = 2^{-1} \cdot 2^{8-2x} \cdot 3^{4-x}$$ Объединим степени с одинаковым основанием 2 в правой части: $$2^{2x-1} \cdot 3^x = 2^{-1 + 8-2x} \cdot 3^{4-x}$$ $$2^{2x-1} \cdot 3^x = 2^{7-2x} \cdot 3^{4-x}$$ Теперь, чтобы равенство было верным, показатели степеней с одинаковыми основаниями должны быть равны: Для основания 2: $$2x-1 = 7-2x$$ Для основания 3: $$x = 4-x$$ Решим первую систему уравнений для $x$: $$2x-1 = 7-2x$$ $$2x+2x = 7+1$$ $$4x = 8$$ $$x = ?rac{8}{4}$$ $$x = 2$$ Теперь проверим это значение во втором уравнении: $$x = 4-x$$ $$2 = 4-2$$ $$2 = 2$$ Отлично! Значения $x$ совпадают, значит, решение есть. **Ответ:** $x = 2$