Посчитай значение выражения (\sqrt{27}-2)(2-3\sqrt{3});

Привет! Давай вместе разберем эти интересные примеры с корнями. ### Задание 2 Нам нужно посчитать выражение: $(\sqrt{27}-2)(2-3\sqrt{3})$ Сначала упростим $\sqrt{27}$: это $3 \cdot 3 \cdot 3$, значит $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. Теперь подставим это в выражение: $$(3\sqrt{3}-2)(2-3\sqrt{3})$$ Обрати внимание, что это похоже на $(a-b)(-c+d)$. Если мы поменяем местами слагаемые во второй скобке, получим $(3\sqrt{3}-2)(-3\sqrt{3}+2)$. Теперь это похоже на $(a-b)$ и $-(a-b)$. То есть $(3\sqrt{3}-2)$ и $-(3\sqrt{3}-2)$. Получается: $-(3\sqrt{3}-2)(3\sqrt{3}-2) = -(3\sqrt{3}-2)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$(3\sqrt{3}-2)^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 + 2^2$$ $$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$$ $$2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 = 12\sqrt{3}$$ $$2^2 = 4$$ Значит, $(3\sqrt{3}-2)^2 = 27 - 12\sqrt{3} + 4 = 31 - 12\sqrt{3}$. И не забудь про минус перед скобкой: $$-(31 - 12\sqrt{3}) = -31 + 12\sqrt{3}$$ **Ответ: $12\sqrt{3} - 31$** ### Задание 4 Нам нужно посчитать выражение: $(5\sqrt{3}+\sqrt{27}) : \sqrt{3}$ Сначала упростим $\sqrt{27}$: как мы уже знаем, это $3\sqrt{3}$. Теперь подставим это в выражение: $$(5\sqrt{3}+3\sqrt{3}) : \sqrt{3}$$ Сложим слагаемые в скобках: $$8\sqrt{3} : \sqrt{3}$$ Теперь разделим: $$\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$$ **Ответ: 8** ### Задание 6 Нам нужно посчитать выражение: $(\sqrt{5}-1)^2 - (2\sqrt{5}+1)^2$ Это похоже на формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Здесь $a = (\sqrt{5}-1)$ и $b = (2\sqrt{5}+1)$. Распишем: $$((\sqrt{5}-1) - (2\sqrt{5}+1)) ((\sqrt{5}-1) + (2\sqrt{5}+1))$$ Посчитаем первую скобку: $$\sqrt{5}-1 - 2\sqrt{5} - 1 = (\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (-1 - 1) = -\sqrt{5} - 2$$ Посчитаем вторую скобку: $$\sqrt{5}-1 + 2\sqrt{5} + 1 = (\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) + (-1 + 1) = 3\sqrt{5}$$ Теперь перемножим результаты: $$(- \sqrt{5} - 2) (3\sqrt{5})$$ $$= -\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} - 2 \cdot 3\sqrt{5}$$ $$= -3 \cdot (\sqrt{5})^2 - 6\sqrt{5}$$ $$= -3 \cdot 5 - 6\sqrt{5}$$ $$= -15 - 6\sqrt{5}$$ **Ответ: $-15 - 6\sqrt{5}$**