Сравни значения выражений а) $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$

Привет! Давай сравним эти выражения, чтобы узнать, какое из них больше, меньше или они равны. а) $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$ Сначала упростим $\sqrt{192}$. Разложим 192 на множители: $192 = 64 \times 3$. Тогда $\sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = \sqrt{64} \times \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$. Теперь упростим второе выражение. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение $(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Значит, $(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \times 3) = 49 - 48 = 1$. Теперь вычтем дроби: $$\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{(7 + 4\sqrt{3}) - (7 - 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{7 + 4\sqrt{3} - 7 + 4\sqrt{3}}{1} = 8\sqrt{3}$$ Мы видим, что оба выражения равны $8\sqrt{3}$. **Ответ: $\sqrt{192} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$** б) $3 + 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10}$ Чтобы сравнить эти выражения, возведём каждое из них в квадрат. Это можно делать, потому что оба выражения положительные, и если $a > b$, то $a^2 > b^2$. Возведём в квадрат первое выражение: $(3 + 2\sqrt{2})^2$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. $$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + (4 \times 2) = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$$ Теперь возведём в квадрат второе выражение: $(\sqrt{7} + \sqrt{10})^2$. $$(\sqrt{7} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 7 + 2\sqrt{70} + 10 = 17 + 2\sqrt{70}$$ Теперь нам нужно сравнить $17 + 12\sqrt{2}$ и $17 + 2\sqrt{70}$. Поскольку 17 одинаково в обоих выражениях, нам достаточно сравнить $12\sqrt{2}$ и $2\sqrt{70}$. Разделим оба на 2: $6\sqrt{2}$ и $\sqrt{70}$. Возведём их в квадрат: $(6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$. $(\sqrt{70})^2 = 70$. Так как $72 > 70$, то $6\sqrt{2} > \sqrt{70}$. Значит, $12\sqrt{2} > 2\sqrt{70}$, и следовательно $17 + 12\sqrt{2} > 17 + 2\sqrt{70}$. **Ответ: $3 + 2\sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$** в) $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7}$ Сначала упростим $\sqrt{198}$. Разложим 198 на множители: $198 = 9 \times 22$. Тогда $\sqrt{198} = \sqrt{9 \times 22} = \sqrt{9} \times \sqrt{22} = 3\sqrt{22}$. Теперь упростим второе выражение. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение $(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7)$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Значит, $(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = (25 \times 2) - 49 = 50 - 49 = 1$. Теперь вычтем дроби: $$\frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7} = \frac{(5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7)}{(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7)} = \frac{5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7}{1} = 14$$ Теперь нам нужно сравнить $3\sqrt{22}$ и $14$. Возведём оба числа в квадрат: $(3\sqrt{22})^2 = 9 \times 22 = 198$. $14^2 = 196$. Так как $198 > 196$, то $3\sqrt{22} > 14$. **Ответ: $\sqrt{198} > \frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7}$** г) $2\sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}$ Снова возведём оба выражения в квадрат, потому что они положительные. Возведём в квадрат первое выражение: $(2\sqrt{5} + 3)^2$. $$(2\sqrt{5} + 3)^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \times 2\sqrt{5} \times 3 + 3^2 = (4 \times 5) + 12\sqrt{5} + 9 = 20 + 12\sqrt{5} + 9 = 29 + 12\sqrt{5}$$ Теперь возведём в квадрат второе выражение: $(\sqrt{10} + \sqrt{19})^2$. $$(\sqrt{10} + \sqrt{19})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{19} + (\sqrt{19})^2 = 10 + 2\sqrt{190} + 19 = 29 + 2\sqrt{190}$$ Теперь нам нужно сравнить $29 + 12\sqrt{5}$ и $29 + 2\sqrt{190}$. Поскольку 29 одинаково в обоих выражениях, нам достаточно сравнить $12\sqrt{5}$ и $2\sqrt{190}$. Разделим оба на 2: $6\sqrt{5}$ и $\sqrt{190}$. Возведём их в квадрат: $(6\sqrt{5})^2 = 36 \times 5 = 180$. $(\sqrt{190})^2 = 190$. Так как $180 < 190$, то $6\sqrt{5} < \sqrt{190}$. Значит, $12\sqrt{5} < 2\sqrt{190}$, и следовательно $29 + 12\sqrt{5} < 29 + 2\sqrt{190}$. **Ответ: $2\sqrt{5} + 3 < \sqrt{10} + \sqrt{19}$**