Реши уравнение 2x^2 + 5x - 3 / 2x^2 - x = 0.

Привет! Давай разберем эти интересные задания по математике. Всё объясню по порядку, чтобы было понятно! **1. Решите уравнение:** $$\frac{2x^2 + 5x - 3}{2x^2 - x} = 0$$ Чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет. Значит, мы получаем два условия: 1. Числитель равен нулю: $2x^2 + 5x - 3 = 0$ Для решения квадратного уравнения используем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$ Здесь $a=2$, $b=5$, $c=-3$. $$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня: $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 2. Знаменатель не равен нулю: $2x^2 - x \neq 0$ Вынесем $x$ за скобки: $$x(2x - 1) \neq 0$$ Это означает, что $x \neq 0$ и $2x - 1 \neq 0$, то есть $2x \neq 1$, а значит $x \neq \frac{1}{2}$. Теперь посмотрим на наши корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = \frac{1}{2}$. Корень $x_1 = -3$ подходит, потому что он не делает знаменатель равным нулю. Корень $x_2 = \frac{1}{2}$ не подходит, потому что он делает знаменатель равным нулю ($2 \cdot (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$). **Ответ:** $x = -3$ **2. Решите систему неравенств:** $$\begin{cases} 2x + 3 > 5(2 - x) \ 3x - 4 \le 2x + 5 \end{cases}$$ Решим каждое неравенство по отдельности. Первое неравенство: $$2x + 3 > 5(2 - x)$$ Раскроем скобки: $$2x + 3 > 10 - 5x$$ Перенесем все $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$2x + 5x > 10 - 3$$ $$7x > 7$$ Разделим на 7: $$x > 1$$ Второе неравенство: $$3x - 4 \le 2x + 5$$ Перенесем $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$3x - 2x \le 5 + 4$$ $$x \le 9$$ Теперь нам нужно найти такие значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > 1$ и $x \le 9$. На числовой прямой это выглядит так: значения $x$ находятся между 1 и 9, причем 1 не включается, а 9 включается. **(1)-------->(9]** Запишем это в виде интервала: **Ответ:** $x \in (1; 9]$ **3. Упростите выражение:** $$(8 - 2\sqrt{15})(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$$ Сначала раскроем квадрат суммы $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$ по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$$ $$= 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$$ Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $$(8 - 2\sqrt{15})(8 + 2\sqrt{15})$$ Это похоже на формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=8$ и $b=2\sqrt{15}$: $$8^2 - (2\sqrt{15})^2$$ $$= 64 - (2^2 \cdot (\sqrt{15})^2)$$ $$= 64 - (4 \cdot 15)$$ $$= 64 - 60$$ $$= 4$$ **Ответ:** $4$ **4. Упростите выражение:** $$\left(\frac{3x}{2y^{-2}}\right)^{-2} \cdot 18x^2 y^3$$ Сначала разберемся с первой частью выражения $\left(\frac{3x}{2y^{-2}}\right)^{-2}$. Помним, что $y^{-2} = \frac{1}{y^2}$. Значит, $\frac{1}{y^{-2}} = y^2$. Тогда дробь внутри скобок станет: $$\frac{3x}{2y^{-2}} = \frac{3x \cdot y^2}{2} = \frac{3xy^2}{2}$$ Теперь возведем это в степень -2. При возведении в отрицательную степень дробь переворачивается: $$\left(\frac{3xy^2}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3xy^2}\right)^{2}$$ Возводим числитель и знаменатель в квадрат: $$= \frac{2^2}{(3xy^2)^2} = \frac{4}{3^2 x^2 (y^2)^2} = \frac{4}{9x^2 y^4}$$ Теперь умножим полученное выражение на $18x^2 y^3$: $$\frac{4}{9x^2 y^4} \cdot 18x^2 y^3$$ Мы можем сократить $x^2$ и $y^3$ и 18 с 9: $$= \frac{4 \cdot 18 \cdot x^2 \cdot y^3}{9 \cdot x^2 \cdot y^4} = \frac{4 \cdot 2}{y}$$ $$= \frac{8}{y}$$ **Ответ:** $\frac{8}{y}$ **5. Задача про бассейн:** Бассейн наполняется двумя трубами за 3 часа. Первая труба, действуя одна, может заполнить бассейн на 8 часов медленнее, чем вторая. За сколько часов наполнит бассейн одна вторая труба? Давайте обозначим время, за которое вторая труба наполнит бассейн одна, как $t$ часов. Тогда первая труба наполнит бассейн одна за $(t+8)$ часов. Производительность трубы (какую часть бассейна она наполняет за 1 час) равна $1 / \text{время}$. Производительность второй трубы: $\frac{1}{t}$ бассейна в час. Производительность первой трубы: $\frac{1}{t+8}$ бассейна в час. Когда обе трубы работают вместе, их производительности складываются. Вместе они наполняют бассейн за 3 часа, значит, их общая производительность: $\frac{1}{3}$ бассейна в час. Составим уравнение: $$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+8} = \frac{1}{3}$$ Чтобы сложить дроби слева, приведем их к общему знаменателю $t(t+8)$: $$\frac{t+8}{t(t+8)} + \frac{t}{t(t+8)} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{t+8+t}{t(t+8)} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{2t+8}{t^2+8t} = \frac{1}{3}$$ Теперь перемножим крест-накрест: $$3(2t+8) = 1(t^2+8t)$$ $$6t + 24 = t^2 + 8t$$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$t^2 + 8t - 6t - 24 = 0$$ $$t^2 + 2t - 24 = 0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: Здесь $a=1$, $b=2$, $c=-24$. $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$ Теперь найдем значения $t$: $$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ $$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Время не может быть отрицательным, поэтому $t_1 = -6$ нам не подходит. Значит, $t = 4$ часа. Мы обозначили $t$ как время, за которое вторая труба наполнит бассейн одна. Это как раз то, что нас спрашивают! **Ответ:** 4 часа