Записать в виде десятичной дроби 2/3

Привет! Давай разберёмся с этими упражнениями по математике. Тут нужно работать с десятичными и обыкновенными дробями, а также выполнять разные действия. Поехали! **1. Записать в виде десятичной дроби:** 1) Чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель. $$ \frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666... = 0,(6) $$ 2) Аналогично: $$ \frac{8}{11} = 8 \div 11 = 0,7272... = 0,(72) $$ 3) И здесь делим: $$ \frac{3}{5} = 3 \div 5 = 0,6 $$ 4) Делим числитель на знаменатель и не забываем про минус: $$ -\frac{3}{4} = -(3 \div 4) = -0,75 $$ 5) Сначала переведем смешанную дробь в неправильную, а потом разделим. Не забываем про минус. $$ -8\frac{2}{7} = -\frac{8 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{56 + 2}{7} = -\frac{58}{7} $$ $$ -\frac{58}{7} \approx -8,2857... $$ (Это бесконечная непериодическая дробь) 6) Делим: $$ \frac{13}{99} = 13 \div 99 = 0,1313... = 0,(13) $$ **2. Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби:** 1) Сначала приведём дроби к общему знаменателю, потом сложим и переведём в десятичную дробь. $$ \frac{2}{11} + \frac{1}{9} = \frac{2 \cdot 9}{11 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{18}{99} + \frac{11}{99} = \frac{18 + 11}{99} = \frac{29}{99} $$ Теперь переводим в десятичную дробь: $$ \frac{29}{99} = 29 \div 99 = 0,2929... = 0,(29) $$ 2) Так же, как в предыдущем примере, ищем общий знаменатель: $$ \frac{8}{13} + \frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3}{13 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{24}{39} + \frac{26}{39} = \frac{24 + 26}{39} = \frac{50}{39} $$ Переводим в десятичную дробь: $$ \frac{50}{39} \approx 1,28205... $$ (Это бесконечная непериодическая дробь) 3) Переведём 1,25 в обыкновенную дробь, а затем сложим: $$ 1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4} $$ Теперь сложим дроби: $$ \frac{1}{3} + \frac{5}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} + \frac{15}{12} = \frac{4 + 15}{12} = \frac{19}{12} $$ Переводим в десятичную дробь: $$ \frac{19}{12} \approx 1,5833... = 1,58(3) $$ 4) Переведем 0,33 в обыкновенную дробь и сложим: $$ 0,33 = \frac{33}{100} $$ $$ \frac{1}{6} + \frac{33}{100} = \frac{1 \cdot 50}{6 \cdot 50} + \frac{33 \cdot 3}{100 \cdot 3} = \frac{50}{300} + \frac{99}{300} = \frac{50 + 99}{300} = \frac{149}{300} $$ Переводим в десятичную дробь: $$ \frac{149}{300} \approx 0,4966... = 0,49(6) $$ 5) Переведём 1,05 в обыкновенную дробь и умножим: $$ 1,05 = 1\frac{5}{100} = 1\frac{1}{20} = \frac{21}{20} $$ $$ \frac{3}{14} \cdot \frac{21}{20} = \frac{3 \cdot 21}{14 \cdot 20} = \frac{3 \cdot (3 \cdot 7)}{(2 \cdot 7) \cdot 20} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 20} = \frac{9}{40} $$ Переводим в десятичную дробь: $$ \frac{9}{40} = 9 \div 40 = 0,225 $$ 6) Переведём 1,7 в обыкновенную дробь и умножим: $$ 1,7 = 1\frac{7}{10} = \frac{17}{10} $$ $$ \frac{7}{9} \cdot \frac{17}{10} = \frac{7 \cdot 17}{9 \cdot 10} = \frac{119}{90} $$ Переводим в десятичную дробь: $$ \frac{119}{90} \approx 1,3222... = 1,3(2) $$ **3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:** 1) Чтобы перевести периодическую дробь в обыкновенную, нужно записать число в периоде в числитель, а в знаменатель столько девяток, сколько цифр в периоде. Если есть целая часть, её прибавляем потом. Пусть $x = 0,(6)$. Тогда $10x = 6,(6)$. $10x - x = 6,(6) - 0,(6)$ $9x = 6$ $x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ **Ответ: $\frac{2}{3}$** 2) Здесь целая часть — 1, а период — 55. Пусть $x = 0,(55)$. Тогда $100x = 55,(55)$. $100x - x = 55,(55) - 0,(55)$ $99x = 55$ $x = \frac{55}{99} = \frac{5 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{5}{9}$ Теперь прибавим целую часть: $1,(55) = 1 + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} + \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$ **Ответ: $\frac{14}{9}$** 3) Здесь период начинается после одной цифры после запятой. Пусть $x = 0,1(2)$. $10x = 1,(2)$ $100x = 12,(2)$ $100x - 10x = 12,(2) - 1,(2)$ $90x = 11$ $x = \frac{11}{90}$ **Ответ: $\frac{11}{90}$** 4) Это отрицательная дробь. Сначала переведем 0,(8) в обыкновенную дробь. Пусть $x = 0,(8)$. Тогда $10x = 8,(8)$. $10x - x = 8,(8) - 0,(8)$ $9x = 8$ $x = \frac{8}{9}$ Значит, $-0,(8) = -\frac{8}{9}$ **Ответ: $-\frac{8}{9}$** 5) Это отрицательная дробь с целой частью и периодом. Сначала переведем 0,(27) в обыкновенную дробь. Пусть $x = 0,(27)$. Тогда $100x = 27,(27)$. $100x - x = 27,(27) - 0,(27)$ $99x = 27$ $x = \frac{27}{99} = \frac{3 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{3}{11}$ Значит, $-3,(27) = -(3 + \frac{3}{11}) = -( \frac{3 \cdot 11}{11} + \frac{3}{11}) = -(\frac{33}{11} + \frac{3}{11}) = -\frac{36}{11}$ **Ответ: $-\frac{36}{11}$** 6) Это отрицательная дробь с целой частью и смешанным периодом. Сначала переведем 0,8(2) в обыкновенную дробь. Пусть $x = 0,8(2)$. $10x = 8,(2)$ $100x = 82,(2)$ $100x - 10x = 82,(2) - 8,(2)$ $90x = 74$ $x = \frac{74}{90} = \frac{37}{45}$ Значит, $-2,8(2) = -(2 + \frac{37}{45}) = -( \frac{2 \cdot 45}{45} + \frac{37}{45}) = -( \frac{90}{45} + \frac{37}{45}) = -\frac{127}{45}$ **Ответ: $-\frac{127}{45}$** **4. Вычислить:** 1) Делаем по порядку действий: Первое действие — деление: $$ 20,88 \div 18 = 1,16 $$ Второе действие — деление: $$ 45 \div 0,36 = 125 $$ Третье действие — сложение: $$ 1,16 + 125 = 126,16 $$ Четвёртое действие — сложение в скобках: $$ 19,59 + 11,95 = 31,54 $$ Пятое действие — деление: $$ 126,16 \div 31,54 = 4 $$ **Ответ: 4** 2) Здесь у нас обыкновенные дроби, действуем по правилам умножения и сложения. Первое действие — умножение: $$ \frac{7}{36} \cdot 9 = \frac{7 \cdot 9}{36} = \frac{7 \cdot 1}{4} = \frac{7}{4} $$ Второе действие — умножение: $$ \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{18} = \frac{9 \cdot 5}{10 \cdot 18} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} $$ Третье действие — сложение: $$ \frac{7}{4} + \frac{11}{32} + \frac{1}{4} $$ Приведём к общему знаменателю (32): $$ \frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 8} + \frac{11}{32} + \frac{1 \cdot 8}{4 \cdot 8} = \frac{56}{32} + \frac{11}{32} + \frac{8}{32} = \frac{56 + 11 + 8}{32} = \frac{75}{32} $$ **Ответ: $\frac{75}{32}$** **5. Вычислить:** 1) Сначала выполним действия в скобках, потом умножение и сложение. Будем переводить в обыкновенные дроби, чтобы было удобнее. Первая скобка: $$ \frac{3}{4} + 0,24 = \frac{3}{4} + \frac{24}{100} = \frac{3}{4} + \frac{6}{25} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} + \frac{6 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{75}{100} + \frac{24}{100} = \frac{99}{100} $$ Вторая скобка: $$ 5,1625 - 2\frac{3}{16} $$ Переведем 5,1625 в обыкновенную дробь: $$ 5,1625 = 5\frac{1625}{10000} = 5\frac{13}{80} = \frac{5 \cdot 80 + 13}{80} = \frac{400 + 13}{80} = \frac{413}{80} $$ Переведем $2\frac{3}{16}$ в неправильную дробь: $$ 2\frac{3}{16} = \frac{2 \cdot 16 + 3}{16} = \frac{32 + 3}{16} = \frac{35}{16} $$ Вычитаем: $$ \frac{413}{80} - \frac{35}{16} = \frac{413}{80} - \frac{35 \cdot 5}{16 \cdot 5} = \frac{413}{80} - \frac{175}{80} = \frac{413 - 175}{80} = \frac{238}{80} = \frac{119}{40} $$ Теперь подставим результаты в исходное выражение: $$ \frac{99}{100} \div 2,15 + \frac{119}{40} \cdot \frac{2}{5} $$ Переведем 2,15 в обыкновенную дробь: $$ 2,15 = 2\frac{15}{100} = 2\frac{3}{20} = \frac{2 \cdot 20 + 3}{20} = \frac{43}{20} $$ Теперь выполним деление: $$ \frac{99}{100} \div \frac{43}{20} = \frac{99}{100} \cdot \frac{20}{43} = \frac{99 \cdot 20}{100 \cdot 43} = \frac{99 \cdot 1}{5 \cdot 43} = \frac{99}{215} $$ Выполним умножение: $$ \frac{119}{40} \cdot \frac{2}{5} = \frac{119 \cdot 2}{40 \cdot 5} = \frac{119 \cdot 1}{20 \cdot 5} = \frac{119}{100} $$ Теперь сложение: $$ \frac{99}{215} + \frac{119}{100} $$ (Здесь будет сложное приведение к общему знаменателю, давай переведем в десятичные дроби для приближенного ответа или оставим так) Чтобы найти общий знаменатель, разложим 215 и 100 на множители: $215 = 5 \cdot 43$, $100 = 2^2 \cdot 5^2$. Общий знаменатель $2^2 \cdot 5^2 \cdot 43 = 100 \cdot 43 = 4300$. $$ \frac{99 \cdot 20}{215 \cdot 20} + \frac{119 \cdot 43}{100 \cdot 43} = \frac{1980}{4300} + \frac{5117}{4300} = \frac{1980 + 5117}{4300} = \frac{7097}{4300} $$ **Ответ: $\frac{7097}{4300}$** (или примерно 1,65046) 2) Делаем по порядку действий, переводим все в обыкновенные дроби или десятичные по удобству. Переведем 0,364 в обыкновенную дробь: $0,364 = \frac{364}{1000} = \frac{91}{250}$ Переведем 0,125 в обыкновенную дробь: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ Переведем $2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ Переведем 0,8 в обыкновенную дробь: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ Выражение выглядит так: $$ \frac{91}{250} \div \frac{7}{25} + \frac{5}{16} \div \frac{1}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} $$ Первое деление: $$ \frac{91}{250} \div \frac{7}{25} = \frac{91}{250} \cdot \frac{25}{7} = \frac{91 \cdot 25}{250 \cdot 7} = \frac{(13 \cdot 7) \cdot 25}{(10 \cdot 25) \cdot 7} = \frac{13}{10} $$ Второе деление: $$ \frac{5}{16} \div \frac{1}{8} = \frac{5}{16} \cdot \frac{8}{1} = \frac{5 \cdot 8}{16 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} $$ Третье умножение: $$ \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \frac{4}{2} = 2 $$ Теперь сложим результаты: $$ \frac{13}{10} + \frac{5}{2} + 2 = \frac{13}{10} + \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 10}{10} = \frac{13}{10} + \frac{25}{10} + \frac{20}{10} = \frac{13 + 25 + 20}{10} = \frac{58}{10} = 5,8 $$ **Ответ: 5,8**