Докажи, что при любом значении переменной неравенство (a+3)(a+1) > a(a+4) верно.

Привет! Давай докажем эти неравенства. Смотри, в таких задачах мы должны преобразовать каждую сторону неравенства так, чтобы одна часть стала больше или меньше другой, и это было бы всегда верно. Обычно мы переносим всё в одну сторону и пытаемся получить что-то, что всегда положительно или отрицательно. 1) $(a+3)(a+1) > a(a+4)$ Раскроем скобки: $$a^2 + a + 3a + 3 > a^2 + 4a$$ $$a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a$$ Теперь давай перенесём всё из правой части в левую: $$a^2 + 4a + 3 - a^2 - 4a > 0$$ $$3 > 0$$ Мы получили $3 > 0$. Это всегда верно, независимо от того, какое число мы подставим вместо $a$. Значит, исходное неравенство тоже всегда верно. 2) $3(b-4) + 2b < 5b - 10$ Раскроем скобки: $$3b - 12 + 2b < 5b - 10$$ Сложим подобные слагаемые в левой части: $$5b - 12 < 5b - 10$$ Теперь перенесём всё из правой части в левую: $$5b - 12 - 5b + 10 < 0$$ $$-2 < 0$$ Мы получили $-2 < 0$. Это всегда верно. Значит, исходное неравенство тоже всегда верно. 3) $(c-4)(c+4) > c^2 - 20$ Это формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Применим её: $$c^2 - 4^2 > c^2 - 20$$ $$c^2 - 16 > c^2 - 20$$ Теперь перенесём всё из правой части в левую: $$c^2 - 16 - c^2 + 20 > 0$$ $$4 > 0$$ Мы получили $4 > 0$. Это всегда верно. Значит, исходное неравенство тоже всегда верно. 4) $x(x+6) - x^2 < 2(3x+1)$ Раскроем скобки с обеих сторон: $$x^2 + 6x - x^2 < 6x + 2$$ Упростим левую часть ($x^2 - x^2$ будет $0$): $$6x < 6x + 2$$ Теперь перенесём $6x$ из правой части в левую: $$6x - 6x < 2$$ $$0 < 2$$ Мы получили $0 < 2$. Это всегда верно. Значит, исходное неравенство тоже всегда верно.