Реши прямоугольный треугольник: по гипотенузе и острому углу: c = 28 см, α = 48°

Привет! Давай разберёмся с этими задачками по геометрии. Это про прямоугольные треугольники, где есть прямой угол (90 градусов), два катета (стороны, образующие прямой угол) и гипотенуза (самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла). Нам нужно "решить треугольник", это значит найти все его стороны и все углы. Помни, что сумма всех углов в треугольнике всегда равна 180 градусам. Если один угол 90 градусов, то сумма двух других острых углов будет 90 градусов. ### Задание 513 #### 1) по гипотенузе и острому углу: $c = 28$ см, $\alpha = 48^{\circ}$ Дано: гипотенуза $c = 28$ см, угол $\alpha = 48^{\circ}$. 1. **Найдём второй острый угол $\beta$:** Мы знаем, что $\alpha + \beta = 90^{\circ}$, значит $$\beta = 90^{\circ} - \alpha$$ $$\beta = 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ}$$ **Угол $\beta = 42^{\circ}$** 2. **Найдём катеты $a$ и $b$:** Используем синус и косинус. Для угла $\alpha$ катет $a$ — это противолежащий катет, а катет $b$ — прилежащий. $$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \implies a = c \cdot \sin(\alpha)$$ $$a = 28 \cdot \sin(48^{\circ})$$ Приближённое значение $\sin(48^{\circ}) \approx 0.743$. $$a \approx 28 \cdot 0.743 \approx 20.804 \text{ см}$$ Округлим до сотых: **$a \approx 20.80$ см** $$\cos(\alpha) = \frac{b}{c} \implies b = c \cdot \cos(\alpha)$$ $$b = 28 \cdot \cos(48^{\circ})$$ Приближённое значение $\cos(48^{\circ}) \approx 0.669$. $$b \approx 28 \cdot 0.669 \approx 18.732 \text{ см}$$ Округлим до сотых: **$b \approx 18.73$ см** #### 2) по катету и острому углу: $a = 56$ см, $\beta = 74^{\circ}$ Дано: катет $a = 56$ см, угол $\beta = 74^{\circ}$. 1. **Найдём второй острый угол $\alpha$:** $$\alpha = 90^{\circ} - \beta$$ $$\alpha = 90^{\circ} - 74^{\circ} = 16^{\circ}$$ **Угол $\alpha = 16^{\circ}$** 2. **Найдём гипотенузу $c$ и катет $b$:** Катет $a$ противолежит углу $\alpha$ и прилежит углу $\beta$. Для угла $\beta$ катет $a$ — прилежащий. $$\cos(\beta) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\cos(\beta)}$$ $$c = \frac{56}{\cos(74^{\circ})}$$ Приближённое значение $\cos(74^{\circ}) \approx 0.276$. $$c \approx \frac{56}{0.276} \approx 202.9 \text{ см}$$ Округлим до десятых: **$c \approx 202.9$ см** Теперь найдём катет $b$. Для угла $\beta$ катет $b$ — противолежащий. $$\tan(\beta) = \frac{b}{a} \implies b = a \cdot \tan(\beta)$$ $$b = 56 \cdot \tan(74^{\circ})$$ Приближённое значение $\tan(74^{\circ}) \approx 3.487$. $$b \approx 56 \cdot 3.487 \approx 195.272 \text{ см}$$ Округлим до сотых: **$b \approx 195.27$ см** #### 3) по катету и гипотенузе: $a = 5$ см, $c = 9$ см Дано: катет $a = 5$ см, гипотенуза $c = 9$ см. 1. **Найдём второй катет $b$:** Воспользуемся теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. $$b^2 = c^2 - a^2$$ $$b^2 = 9^2 - 5^2$$ $$b^2 = 81 - 25$$ $$b^2 = 56$$ $$b = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14} \text{ см}$$ Приближённое значение $2\sqrt{14} \approx 2 \cdot 3.742 \approx 7.484 \text{ см}$. Округлим до сотых: **$b \approx 7.48$ см** 2. **Найдём острые углы $\alpha$ и $\beta$:** Для угла $\alpha$ катет $a$ — противолежащий. $$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{9}$$ $$\sin(\alpha) \approx 0.5556$$ $$\alpha = \arcsin(0.5556)$$ Приближённое значение: **$\alpha \approx 33.75^{\circ}$** Теперь найдём угол $\beta$: $$\beta = 90^{\circ} - \alpha$$ $$\beta \approx 90^{\circ} - 33.75^{\circ} = 56.25^{\circ}$$ **$\beta \approx 56.25^{\circ}$** #### 4) по двум катетам: $a = 3$ см, $b = 7$ см Дано: катеты $a = 3$ см, $b = 7$ см. 1. **Найдём гипотенузу $c$:** Используем теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$. $$c^2 = 3^2 + 7^2$$ $$c^2 = 9 + 49$$ $$c^2 = 58$$ $$c = \sqrt{58} \text{ см}$$ Приближённое значение $\sqrt{58} \approx 7.616 \text{ см}$. Округлим до сотых: **$c \approx 7.62$ см** 2. **Найдём острые углы $\alpha$ и $\beta$:** Для угла $\alpha$ катет $a$ — противолежащий, катет $b$ — прилежащий. $$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{3}{7}$$ $$\tan(\alpha) \approx 0.4286$$ $$\alpha = \arctan(0.4286)$$ Приближённое значение: **$\alpha \approx 23.19^{\circ}$** Теперь найдём угол $\beta$: $$\beta = 90^{\circ} - \alpha$$ $$\beta \approx 90^{\circ} - 23.19^{\circ} = 66.81^{\circ}$$ **$\beta \approx 66.81^{\circ}$** ### Задание 514 #### 1) по катету и острому углу: $a = 34$ см, $\alpha = 55^{\circ}$ Дано: катет $a = 34$ см, угол $\alpha = 55^{\circ}$. 1. **Найдём второй острый угол $\beta$:** $$\beta = 90^{\circ} - \alpha$$ $$\beta = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}$$ **Угол $\beta = 35^{\circ}$** 2. **Найдём гипотенузу $c$ и катет $b$:** Для угла $\alpha$ катет $a$ — противолежащий. $$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$$ $$c = \frac{34}{\sin(55^{\circ})}$$ Приближённое значение $\sin(55^{\circ}) \approx 0.819$. $$c \approx \frac{34}{0.819} \approx 41.514 \text{ см}$$ Округлим до сотых: **$c \approx 41.51$ см** Теперь найдём катет $b$. Для угла $\alpha$ катет $b$ — прилежащий. $$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} \implies b = \frac{a}{\tan(\alpha)}$$ $$b = \frac{34}{\tan(55^{\circ})}$$ Приближённое значение $\tan(55^{\circ}) \approx 1.428$. $$b \approx \frac{34}{1.428} \approx 23.810 \text{ см}$$ Округлим до сотых: **$b \approx 23.81$ см**