Реши выражение $\left(\frac{2ab}{a^2-b^2} + \frac{a-b}{2a+2b}\right) \cdot \left(\frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a}\right)$

Привет! Давай вместе решим этот пример. Тут нужно будет поработать с дробями и вспомнить формулы сокращённого умножения. $$\left(\frac{2ab}{a^2-b^2} + \frac{a-b}{2a+2b}\right) \cdot \left(\frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a}\right)$$ Сначала упростим выражения в каждой скобке. **Первая скобка:** 1. Разложим знаменатель первой дроби: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. 2. Вынесем общий множитель во второй дроби: $2a+2b = 2(a+b)$. Получим: $$\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{2(a+b)}$$ 3. Приведём дроби к общему знаменателю, который будет $2(a-b)(a+b)$. Для этого первую дробь домножим на 2, а вторую на $(a-b)$. $$\frac{2ab \cdot 2}{2(a-b)(a+b)} + \frac{(a-b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}$$ 4. Раскроем скобки в числителе: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $$\frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)}$$ 5. Заметим, что $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. $$\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}$$ 6. Сократим дробь на $(a+b)$. $$\frac{a+b}{2(a-b)}$$ **Вторая скобка:** 1. Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Перепишем вторую дробь, изменив знак: $$\frac{2a}{a+b} + \frac{b}{-(a-b)} = \frac{2a}{a+b} - \frac{b}{a-b}$$ 2. Приведём дроби к общему знаменателю $(a+b)(a-b)$. Для этого первую дробь домножим на $(a-b)$, а вторую на $(a+b)$. $$\frac{2a(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a(a-b) - b(a+b)}{(a+b)(a-b)}$$ 3. Раскроем скобки в числителе: $$\frac{2a^2 - 2ab - ab - b^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{(a+b)(a-b)}$$ **Теперь перемножим результаты из двух скобок:** $$\frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{(a+b)(a-b)}$$ $$\frac{(a+b)(2a^2 - 3ab - b^2)}{2(a-b)(a+b)(a-b)}$$ Сократим $(a+b)$ в числителе и знаменателе: $$\frac{2a^2 - 3ab - b^2}{2(a-b)^2}$$ **Ответ:** $$\frac{2a^2 - 3ab - b^2}{2(a-b)^2}$$