Выполни действия с рациональными числами: представь 3/8 со знаменателем 32

Привет! Давай вместе решим эти задачки. Это повторение курса математики за 6 класс, так что всё это мы уже проходили! **1. Выполните действия с рациональными числами.** А) Представьте $\frac{3}{8}$ со знаменателем 32: Чтобы знаменатель стал 32, нужно 8 умножить на 4. Значит, и числитель 3 тоже нужно умножить на 4. Получится $\frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{12}{32}$. Б) Сократите дробь $\frac{16}{56}$: И 16, и 56 делятся на 8. Делим оба числа на 8. Получится $\frac{16 \div 8}{56 \div 8} = \frac{2}{7}$. В) Выполните сложение дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{7}$: Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Для 6 и 7 это 42. Первую дробь умножаем на 7, вторую — на 6. $\frac{5}{6} + \frac{2}{7} = \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{35}{42} + \frac{12}{42} = \frac{35+12}{42} = \frac{47}{42}$. Можно выделить целую часть: $\frac{47}{42} = 1\frac{5}{42}$. Г) Вычислите $|-4\frac{2}{3}| \cdot |2\frac{1}{4}|$ Сначала найдем модули чисел. Модуль любого числа – это всегда положительное число. Затем переведем смешанные дроби в неправильные и умножим их. $|-4\frac{2}{3}| = 4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$ $|2\frac{1}{4}| = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$ Теперь умножим: $\frac{14}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{14 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{7 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2}$. Д) Вычислите $-|-3\frac{3}{5}| \div |-1\frac{9}{15}|$ Сначала найдем модули. Потом переведем смешанные дроби в неправильные и разделим их. Не забудь про знак минус перед первым модулем! $|-3\frac{3}{5}| = 3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$ $|-1\frac{9}{15}| = 1\frac{9}{15}$. Можно сократить дробь $\frac{9}{15}$ на 3, получим $\frac{3}{5}$. Тогда $1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$. Теперь подставляем в выражение: $-\frac{18}{5} \div \frac{8}{5} = -(\frac{18}{5} \cdot \frac{5}{8}) = -\frac{18}{8} = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4}$. **Ответ: А) $\frac{12}{32}$ ; Б) $\frac{2}{7}$ ; В) $1\frac{5}{42}$ ; Г) $10\frac{1}{2}$ ; Д) $-2\frac{1}{4}$** **2. Найдите неизвестный член пропорции:** А) $42 : 6 = x : 8$ В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит, $42 \cdot 8 = 6 \cdot x$. $336 = 6x$ $x = 336 \div 6$ $$\begin{array}{ccc|l} 3 & 3 & 6 & 6 \\ \hline 3 & 0 & & 56 \\ \hline & 3 & 6 \\ & 3 & 6 \\ \hline & & 0 \end{array}$$ $x = 56$ Б) $\frac{4}{7} = \frac{x}{35}$ Здесь тоже используем правило пропорции: $4 \cdot 35 = 7 \cdot x$. $140 = 7x$ $x = 140 \div 7$ $x = 20$ В) $x : 4.2 = 5 : 7$ Произведение крайних равно произведению средних: $x \cdot 7 = 4.2 \cdot 5$. $7x = 21$ $x = 21 \div 7$ $x = 3$ **Ответ: А) 56 ; Б) 20 ; В) 3** **3. Отметьте точки на координатной плоскости и последовательно соедините их отрезками.** Эту задачу удобнее выполнять прямо на картинке, но я объясню, как это делается: 1. **(-2; -4):** От начала координат (0,0) иди на 2 единицы влево (по оси X) и на 4 единицы вниз (по оси Y). Поставь точку. 2. **(-3; -5):** От начала координат иди на 3 единицы влево и на 5 единиц вниз. Поставь точку и соедини с предыдущей точкой (-2, -4). 3. **(-1; -6):** От начала координат иди на 1 единицу влево и на 6 единиц вниз. Поставь точку и соедини с (-3, -5). 4. **(1; -6):** От начала координат иди на 1 единицу вправо и на 6 единиц вниз. Поставь точку и соедини с (-1, -6). 5. **(3; 0):** От начала координат иди на 3 единицы вправо и останься на оси X (0 по Y). Поставь точку и соедини с (1, -6). 6. **(1; -1):** От начала координат иди на 1 единицу вправо и на 1 единицу вниз. Поставь точку и соедини с (3, 0). 7. **(-1; 0):** От начала координат иди на 1 единицу влево и останься на оси X. Поставь точку и соедини с (1, -1). 8. **(-2; 2):** От начала координат иди на 2 единицы влево и на 2 единицы вверх. Поставь точку и соедини с (-1, 0). 9. **(0; 4):** От начала координат останься на оси X (0 по X) и иди на 4 единицы вверх. Поставь точку и соедини с (-2, 2). 10. **(2; 5):** От начала координат иди на 2 единицы вправо и на 5 единиц вверх. Поставь точку и соедини с (0, 4). 11. **(5; 4):** От начала координат иди на 5 единиц вправо и на 4 единицы вверх. Поставь точку и соедини с (2, 5). 12. **(8; 3):** От начала координат иди на 8 единиц вправо и на 3 единицы вверх. Поставь точку и соедини с (5, 4). 13. **(9; 1):** От начала координат иди на 9 единиц вправо и на 1 единицу вверх. Поставь точку и соедини с (8, 3). 14. **(8; -1):** От начала координат иди на 8 единиц вправо и на 1 единицу вниз. Поставь точку и соедини с (9, 1). 15. **(6; 1):** От начала координат иди на 6 единиц вправо и на 1 единицу вверх. Поставь точку и соедини с (8, -1). 16. **(5; -1):** От начала координат иди на 5 единиц вправо и на 1 единицу вниз. Поставь точку и соедини с (6, 1). 17. **(3; 0):** От начала координат иди на 3 единицы вправо и останься на оси X. Поставь точку и соедини с (5, -1). В конце у тебя должен получиться рисунок. Похоже на рыбку или что-то интересное! **4. Найдите:** А) НОД чисел 60 и 84: НОД — это Наибольший Общий Делитель. Это самое большое число, на которое делятся оба числа без остатка. Разложим числа на простые множители: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$ Общие множители: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$. Значит, НОД(60, 84) = 12. Б) НОК чисел 16 и 14: НОК — это Наименьшее Общее Кратное. Это самое маленькое число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Разложим на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$ $14 = 2 \cdot 7$ Чтобы найти НОК, берем все множители с наибольшей степенью. $2^4 \cdot 7 = 16 \cdot 7 = 112$. Значит, НОК(16, 14) = 112. В) Разложите на простые множители число, которого здесь нет. Допущение: я разложу число 120, так как в задании пропущено число. **Допущение: Разложу на простые множители число 120.** $120 = 2 \cdot 60 = 2 \cdot 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$. **Ответ: А) 12 ; Б) 112 ; В) $2^3 \cdot 3 \cdot 5$** **5. Решите задачи:** А) В палаточном городке арендовали 150 шезлонгов. Туристы использовали 70% шезлонгов. Сколько шезлонгов остались пустыми? Сначала найдем, сколько шезлонгов использовали. Это 70% от 150: $150 \cdot 0.70 = 105$ шезлонгов использовано. Чтобы найти, сколько шезлонгов остались пустыми, вычтем использованные из общего количества: $150 - 105 = 45$ шезлонгов. Б) Дети собирают морские звезды и ракушки в отношении 4:5. Звезд найдено 20. Сколько ракушек они нашли? Отношение звезд к ракушкам равно 4:5. Это значит, что на каждые 4 звезды приходится 5 ракушек. Если звезд 20, что в $20 \div 4 = 5$ раз больше, чем в отношении, то и ракушек будет в 5 раз больше: $5 \cdot 5 = 25$ ракушек. В) В детском лагере на озере отдохнуло 150 детей. 40% из них занимались парусным спортом, а остальные играли в футбол. Сколько детей играло в футбол? Сначала найдем, сколько детей занимались парусным спортом: $150 \cdot 0.40 = 60$ детей. Остальные играли в футбол, значит: $150 - 60 = 90$ детей играло в футбол. Г) На распродаже мороженого покупатель приобрел пломбир со скидкой 20%. После скидки мороженое обошлось покупателю в 64 рубля. Сколько стоило мороженое до скидки? Если мороженое продали со скидкой 20%, значит, покупатель заплатил 100% - 20% = 80% от первоначальной цены. Эти 80% составляют 64 рубля. Пусть x — первоначальная цена. Тогда $0.80 \cdot x = 64$. $x = 64 \div 0.80$ $x = 640 \div 8$ $x = 80$ рублей. Д) В рыболовном турнире участники поймали крупную рыбу, которая составила 70% улова, а мелкая рыба составила остальную часть. Сколько мелких рыб было выловлено участниками турнира? **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно добавить общее количество пойманных рыб или количество крупной рыбы в штуках. Сейчас мы знаем только процентное соотношение. Допущение: Если было поймано, например, 100 рыб, то крупных было 70, а мелких 30. Если было поймано 10 рыб, то крупных - 7, а мелких - 3. Без общего количества рыб, мы не можем дать числовой ответ. **Ответ: А) 45 ; Б) 25 ; В) 90 ; Г) 80 ; Д) Недостаточно данных для точного решения. Нужно общее количество пойманных рыб.**