Упрости выражения: $\frac{3x-12}{x^2+x-20}$

Привет! Давай разберёмся с этим заданием. Это упрощение алгебраических дробей. ### 54. Упрости выражения: **а)** $\frac{3x-12}{x^2+x-20}$ 1. Сначала найдём общий множитель в числителе: $3x - 12 = 3(x - 4)$. 2. Теперь разложим знаменатель $x^2 + x - 20$ на множители. Нам нужно найти два числа, которые при умножении дают -20, а при сложении дают 1. Это числа 5 и -4. Значит, $x^2 + x - 20 = (x+5)(x-4)$. 3. Теперь подставим эти разложения обратно в дробь: $\frac{3(x-4)}{(x+5)(x-4)}$. 4. Сократим одинаковые множители $(x-4)$ в числителе и знаменателе. **Ответ: $\frac{3}{x+5}$** **б)** $\frac{2x^2+7x+3}{x^2+3x}$ 1. Сначала разложим числитель $2x^2 + 7x + 3$ на множители. Это квадратный трёхчлен. Можно найти его корни, используя дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$. Тогда $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 5}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{-7+5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-7-5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$. Значит, $2x^2 + 7x + 3 = 2(x - (-\frac{1}{2}))(x - (-3)) = 2(x + \frac{1}{2})(x+3) = (2x+1)(x+3)$. 2. Теперь разложим знаменатель $x^2 + 3x$ на множители. Вынесем общий множитель $x$: $x^2 + 3x = x(x+3)$. 3. Подставим эти разложения в дробь: $\frac{(2x+1)(x+3)}{x(x+3)}$. 4. Сократим одинаковые множители $(x+3)$ в числителе и знаменателе. **Ответ: $\frac{2x+1}{x}$** ### 55. Упрости выражения: **а)** $\frac{5a+10}{2a^2+13a+18}$ 1. Разложим числитель: $5a + 10 = 5(a+2)$. 2. Разложим знаменатель $2a^2 + 13a + 18$ на множители. Найдем корни: $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 169 - 144 = 25$. Тогда $a = \frac{-13 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 \pm 5}{4}$. Корни: $a_1 = \frac{-13+5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$ и $a_2 = \frac{-13-5}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$. Значит, $2a^2 + 13a + 18 = 2(a - (-2))(a - (-\frac{9}{2})) = 2(a+2)(a+\frac{9}{2}) = (a+2)(2a+9)$. 3. Подставим разложения в дробь: $\frac{5(a+2)}{(a+2)(2a+9)}$. 4. Сократим одинаковые множители $(a+2)$. **Ответ: $\frac{5}{2a+9}$** **б)** $\frac{b^2-8b+15}{b^2-25}$ 1. Разложим числитель $b^2 - 8b + 15$. Нужно найти два числа, которые при умножении дают 15, а при сложении дают -8. Это числа -3 и -5. Значит, $b^2 - 8b + 15 = (b-3)(b-5)$. 2. Разложим знаменатель $b^2 - 25$. Это разность квадратов: $b^2 - 25 = (b-5)(b+5)$. 3. Подставим разложения в дробь: $\frac{(b-3)(b-5)}{(b-5)(b+5)}$. 4. Сократим одинаковые множители $(b-5)$. **Ответ: $\frac{b-3}{b+5}$** ### 56. Упрости выражения: **а)** $\frac{2a^2-5a-3}{3a-9}$ 1. Разложим числитель $2a^2 - 5a - 3$. Найдем корни: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Тогда $a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$. Корни: $a_1 = \frac{5+7}{4} = \frac{12}{4} = 3$ и $a_2 = \frac{5-7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Значит, $2a^2 - 5a - 3 = 2(a - 3)(a - (-\frac{1}{2})) = 2(a-3)(a+\frac{1}{2}) = (a-3)(2a+1)$. 2. Разложим знаменатель $3a - 9$: $3a - 9 = 3(a-3)$. 3. Подставим разложения в дробь: $\frac{(a-3)(2a+1)}{3(a-3)}$. 4. Сократим одинаковые множители $(a-3)$. **Ответ: $\frac{2a+1}{3}$** **б)** $\frac{2y^2+7y+3}{y^2-9}$ 1. Разложим числитель $2y^2 + 7y + 3$. Мы уже раскладывали такое выражение в задании 54б, только с $x$ вместо $y$. Получится $(2y+1)(y+3)$. 2. Разложим знаменатель $y^2 - 9$. Это разность квадратов: $y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$. 3. Подставим разложения в дробь: $\frac{(2y+1)(y+3)}{(y-3)(y+3)}$. 4. Сократим одинаковые множители $(y+3)$. **Ответ: $\frac{2y+1}{y-3}$** ### 57. Упрости выражения: **а)** $\frac{4x+4}{3x^2+2x-1}$ 1. Разложим числитель: $4x + 4 = 4(x+1)$. 2. Разложим знаменатель $3x^2 + 2x - 1$. Найдем корни: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$. Тогда $x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$. Корни: $x_1 = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{-2-4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$. Значит, $3x^2 + 2x - 1 = 3(x - \frac{1}{3})(x - (-1)) = 3(x-\frac{1}{3})(x+1) = (3x-1)(x+1)$. 3. Подставим разложения в дробь: $\frac{4(x+1)}{(3x-1)(x+1)}$. 4. Сократим одинаковые множители $(x+1)$. **Ответ: $\frac{4}{3x-1}$** **б)** $\frac{p^2-11p+10}{20+8p-p^2}$ 1. Разложим числитель $p^2 - 11p + 10$. Нужно найти два числа, которые при умножении дают 10, а при сложении дают -11. Это числа -1 и -10. Значит, $p^2 - 11p + 10 = (p-1)(p-10)$. 2. Разложим знаменатель $20 + 8p - p^2$. Можно переписать как $-p^2 + 8p + 20$. Вынесем $-1$: $-(p^2 - 8p - 20)$. Теперь разложим $p^2 - 8p - 20$. Нам нужны два числа, которые при умножении дают -20, а при сложении дают -8. Это числа -10 и 2. Значит, $p^2 - 8p - 20 = (p-10)(p+2)$. Тогда весь знаменатель будет $-(p-10)(p+2) = (10-p)(p+2)$. 3. Подставим разложения в дробь: $\frac{(p-1)(p-10)}{(10-p)(p+2)}$. 4. Заметим, что $(p-10) = -(10-p)$. Тогда дробь можно переписать как $\frac{(p-1) \cdot (-(10-p))}{(10-p)(p+2)} = \frac{-(p-1)(10-p)}{(10-p)(p+2)}$. 5. Сократим одинаковые множители $(10-p)$. **Ответ: $-\frac{p-1}{p+2}$ или $\frac{1-p}{p+2}$** Замечательно поработали!