Найди точки разрыва функций

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. **Задание 1: Найдите точки разрыва функций.** Точки разрыва — это места, где функция как бы «прерывается» или «ломается». Это происходит, когда мы не можем посчитать значение функции в какой-то точке (например, деление на ноль) или когда функция резко меняет своё значение. 1) $y = x^5 + x^3 + 7$ Эта функция — многочлен. Она всегда существует и нигде не «ломается». У неё нет никаких проблемных мест, таких как деление на ноль или квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому эта функция непрерывна на всей числовой прямой. **Точек разрыва нет.** 2) $y = 5x + \frac{1}{x}$ Здесь у нас есть дробь $\frac{1}{x}$. Мы знаем, что на ноль делить нельзя! Поэтому, если $x = 0$, функция не определена, и это будет точка разрыва. **Точка разрыва: $x = 0$.** 3) $y = \operatorname{tg} x$ Функция тангенс, $\operatorname{tg} x$, это то же самое, что $\frac{\operatorname{sin} x}{\operatorname{cos} x}$. Проблема возникает, когда $\operatorname{cos} x = 0$. Это происходит, когда $x$ равен $\frac{\pi}{2}$ (90 градусов), $\frac{3\pi}{2}$ (270 градусов) и так далее, то есть $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. **Точки разрыва: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.** 4) $y = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{при } x < 0, \\ 0 & \text{при } x = 0, \\ 2x & \text{при } x > 0. \end{cases}$ Эта функция задана кусочно. Нужно проверить её в тех точках, где она «склеивается» — то есть при $x=0$. И ещё проверить каждый кусочек отдельно. - При $x < 0$ функция $y = \frac{1}{x}$ имеет точку разрыва $x=0$, но в этом интервале ($x<0$) её нет. Значит, на интервале $x < 0$ функция непрерывна. - При $x > 0$ функция $y = 2x$ — это прямая, она непрерывна. - А что происходит в точке $x = 0$? - Значение функции в этой точке $y(0) = 0$. - Посмотрим на предел слева (когда $x$ приближается к 0 со стороны отрицательных чисел): $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. - Предел справа (когда $x$ приближается к 0 со стороны положительных чисел): $\lim_{x \to 0^+} 2x = 2 \cdot 0 = 0$. Так как левый предел равен $-\infty$, функция в точке $x=0$ имеет бесконечный разрыв. Несмотря на то, что $y(0)$ определено, функция всё равно «ломается». **Точка разрыва: $x = 0$.** 5) $y = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}$ Здесь у нас две дроби. Каждая дробь имеет проблему, когда её знаменатель равен нулю. - Для первой дроби: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. - Для второй дроби: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. **Точки разрыва: $x = 1$ и $x = -2$.** 6) $y = 3x + \lg x$ Здесь есть логарифм $\lg x$. Мы знаем, что логарифм определён только для положительных чисел. То есть, $x > 0$. **Точки разрыва: для всех $x \le 0$.** (Или можно сказать, что функция определена только для $x > 0$). 7) $y = \frac{|x+5|}{2x}$ Тут у нас есть дробь, и проблемы могут быть, когда знаменатель равен нулю. - Знаменатель $2x = 0 \Rightarrow x = 0$. А что с числителем $|x+5|$? Он всегда существует, потому что это модуль числа. Так что единственная проблема — деление на ноль. **Точка разрыва: $x = 0$.** 8) $y = \operatorname{sin} x - \operatorname{cos}^2 x$ Функции синус и косинус определены для любых $x$ и всегда непрерывны. Их разность тоже будет непрерывной. **Точек разрыва нет.** 9) $y = \begin{cases} x + 2 & \text{при } x < -1, \\ -x^2 & \text{при } -1 \le x < 2, \\ 5 - x & \text{при } x \ge 2. \end{cases}$ Опять кусочная функция. Нужно проверить точки «склейки»: $x = -1$ и $x = 2$. - **Проверим $x = -1$:** - Значение функции в точке: $y(-1) = -(-1)^2 = -1$. - Предел слева (для $x < -1$): $\lim_{x \to -1^-} (x + 2) = -1 + 2 = 1$. - Предел справа (для $-1 \le x < 2$): $\lim_{x \to -1^+} (-x^2) = -(-1)^2 = -1$. Левый предел ($1$) не равен правому пределу ($-1$). Значит, в точке $x=-1$ есть разрыв (скачок). - **Проверим $x = 2$:** - Значение функции в точке: $y(2) = 5 - 2 = 3$. - Предел слева (для $-1 \le x < 2$): $\lim_{x \to 2^-} (-x^2) = -(2)^2 = -4$. - Предел справа (для $x \ge 2$): $\lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 5 - 2 = 3$. Левый предел ($-4$) не равен правому пределу ($3$). Значит, в точке $x=2$ тоже есть разрыв (скачок). **Точки разрыва: $x = -1$ и $x = 2$.** **Задание 2: Теорема о промежуточном значении (или Теорема Больцано-Коши).** 1) **Сформулируйте условие, достаточное для того, чтобы непрерывная функция имела нуль на отрезке $[a; b]$.** Представь, что у тебя есть горка. Если ты начинаешь с одной стороны горки (значение функции, например, положительное) и заканчиваешь на другой (значение функции отрицательное), то обязательно где-то посередине ты должен был пройти через