Найди производную функции $y = 5x - 6$

Привет! Давай разберемся с производными. ### 38.1. Найдите производную функции: 1) У нас функция $y = 5x - 6$. Чтобы найти производную, нужно вспомнить, что производная от $x$ – это $1$, а от числа – это $0$. А если число умножается на $x$, то $x$ просто "уходит". $$y' = (5x)' - (6)' = 5 \cdot 1 - 0 = 5$$ **Ответ: $y' = 5$** 2) У нас функция $y = \frac{1 - x}{3}$. Это можно переписать как $y = \frac{1}{3} - \frac{x}{3}$. Теперь находим производную. Производная от $\frac{1}{3}$ (это число) будет $0$, а от $-\frac{x}{3}$ будет $-\frac{1}{3}$. $$y' = (\frac{1}{3})' - (\frac{x}{3})' = 0 - \frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}$$ **Ответ: $y' = -\frac{1}{3}$** 3) У нас функция $y = 9$. Это просто число. Производная от любого числа всегда равна $0$. $$y' = (9)' = 0$$ **Ответ: $y' = 0$** ### 38.2. Найдите производную функции: Для таких функций, как $y = x^n$, производная находится по правилу: $y' = n \cdot x^{n-1}$. То есть, степень "спускается" вниз, а сама степень уменьшается на $1$. 1) У нас $y = x^4$. Здесь $n = 4$. $$y' = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3$$ **Ответ: $y' = 4x^3$** 2) У нас $y = x^{20}$. Здесь $n = 20$. $$y' = 20 \cdot x^{20-1} = 20x^{19}$$ **Ответ: $y' = 20x^{19}$** 3) У нас $y = x^{-15}$. Здесь $n = -15$. $$y' = -15 \cdot x^{-15-1} = -15x^{-16}$$ **Ответ: $y' = -15x^{-16}$** 4) У нас $y = \frac{1}{x^{17}}$. Сначала запишем это как $y = x^{-17}$. Здесь $n = -17$. $$y' = -17 \cdot x^{-17-1} = -17x^{-18} = -\frac{17}{x^{18}}$$ **Ответ: $y' = -\frac{17}{x^{18}}$** 5) У нас $y = x^{-2,8}$. Здесь $n = -2,8$. $$y' = -2,8 \cdot x^{-2,8-1} = -2,8x^{-3,8}$$ **Ответ: $y' = -2,8x^{-3,8}$** 6) У нас $y = x^{\frac{1}{5}}$. Здесь $n = \frac{1}{5}$. $$y' = \frac{1}{5} \cdot x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5}-\frac{5}{5}} = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}}$$ **Ответ: $y' = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}}$** ### 38.3. Найдите производную функции: 1) У нас $y = x^{10}$. Здесь $n = 10$. $$y' = 10 \cdot x^{10-1} = 10x^9$$ **Ответ: $y' = 10x^9$** 2) У нас $y = x^{-6}$. Здесь $n = -6$. $$y' = -6 \cdot x^{-6-1} = -6x^{-7}$$ **Ответ: $y' = -6x^{-7}$** 3) У нас $y = \frac{1}{x^8}$. Сначала запишем как $y = x^{-8}$. Здесь $n = -8$. $$y' = -8 \cdot x^{-8-1} = -8x^{-9} = -\frac{8}{x^9}$$ **Ответ: $y' = -\frac{8}{x^9}$** 4) У нас $y = 8 - 3x$. Здесь используем те же правила, что и в 38.1. $$y' = (8)' - (3x)' = 0 - 3 \cdot 1 = -3$$ **Ответ: $y' = -3$** 5) У нас $y = x^{\frac{7}{6}}$. Здесь $n = \frac{7}{6}$. $$y' = \frac{7}{6} \cdot x^{\frac{7}{6}-1} = \frac{7}{6} x^{\frac{7}{6}-\frac{6}{6}} = \frac{7}{6} x^{\frac{1}{6}}$$ **Ответ: $y' = \frac{7}{6} x^{\frac{1}{6}}$** 6) У нас $y = x^{-0,2}$. Здесь $n = -0,2$. $$y' = -0,2 \cdot x^{-0,2-1} = -0,2x^{-1,2}$$ **Ответ: $y' = -0,2x^{-1,2}$** ### 38.4. Продифференцируйте функцию: Здесь нужно помнить, что корень можно записать как степень. Например, $\sqrt[m]{x^n} = x^{\frac{n}{m}}$. 1) У нас $y = \sqrt[4]{x}$. Это можно записать как $y = x^{\frac{1}{4}}$. Здесь $n = \frac{1}{4}$. $$y' = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}}$$ **Ответ: $y' = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}}$** 2) У нас $y = \sqrt[8]{x^7}$. Это можно записать как $y = x^{\frac{7}{8}}$. Здесь $n = \frac{7}{8}$. $$y' = \frac{7}{8} \cdot x^{\frac{7}{8}-1} = \frac{7}{8} x^{-\frac{1}{8}}$$ **Ответ: $y' = \frac{7}{8} x^{-\frac{1}{8}}$** 3) У нас $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Сначала запишем как $y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$. Здесь $n = -\frac{1}{2}$. $$y' = -\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}$$ **Ответ: $y' = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}$** 4) У нас $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$. Сначала запишем как $y = \frac{1}{x^{\frac{5}{8}}} = x^{-\frac{5}{8}}$. Здесь $n = -\frac{5}{8}$. $$y' = -\frac{5}{8} \cdot x^{-\frac{5}{8}-1} = -\frac{5}{8} x^{-\frac{13}{8}}$$ **Ответ: $y' = -\frac{5}{8} x^{-\frac{13}{8}}$**