Привет! Давай разберемся с производными. Это не так сложно, как кажется, просто нужно запомнить несколько правил.
### 38.1. Найдите производную функции:
1) $y = 5x - 6$
Чтобы найти производную от $5x - 6$, мы используем два правила:
* Производная от $Cx$ (где C - любое число) это просто $C$. То есть, от $5x$ будет $5$.
* Производная от простого числа (без $x$) всегда $0$. То есть, от $6$ будет $0$.
Получаем: $y' = (5x)' - (6)' = 5 - 0 = 5$.
**Ответ: $y' = 5$**
2) $y = \frac{1 - x}{3}$
Эту функцию можно переписать как $y = \frac{1}{3} - \frac{x}{3}$. Теперь можно искать производную:
* Производная от $\frac{1}{3}$ (это просто число) будет $0$.
* Производная от $-\frac{x}{3}$ (это $-\frac{1}{3}x$) будет $-\frac{1}{3}$.
Получаем: $y' = (\frac{1}{3})' - (\frac{x}{3})' = 0 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$.
**Ответ: $y' = -\frac{1}{3}$**
3) $y = 9$
Тут у нас просто число. А производная от любого числа, как мы уже знаем, равна $0$.
**Ответ: $y' = 0$**
### 38.2. Найдите производную функции:
Для всех этих заданий мы будем использовать правило: если $y = x^n$, то $y' = n \cdot x^{n-1}$. То есть, степень "спускается" вниз как множитель, а сама степень уменьшается на $1$.
1) $y = x^4$
Здесь $n=4$. Значит, производная будет $4 \cdot x^{4-1} = 4x^3$.
**Ответ: $y' = 4x^3$**
2) $y = x^{20}$
Здесь $n=20$. Значит, производная будет $20 \cdot x^{20-1} = 20x^{19}$.
**Ответ: $y' = 20x^{19}$**
3) $y = x^{-15}$
Здесь $n=-15$. Значит, производная будет $(-15) \cdot x^{-15-1} = -15x^{-16}$.
**Ответ: $y' = -15x^{-16}$**
4) $y = \frac{1}{x^{17}}$
Сначала перепишем эту функцию в виде $x$ в степени: $y = x^{-17}$. Теперь ищем производную, как в предыдущих примерах, где $n=-17$.
$y' = (-17) \cdot x^{-17-1} = -17x^{-18}$.
**Ответ: $y' = -17x^{-18}$**
5) $y = x^{-2,8}$
Здесь $n=-2,8$. Значит, производная будет $(-2,8) \cdot x^{-2,8-1} = -2,8x^{-3,8}$.
**Ответ: $y' = -2,8x^{-3,8}$**
6) $y = x^{\frac{1}{5}}$
Здесь $n=\frac{1}{5}$. Значит, производная будет $\frac{1}{5} \cdot x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-\frac{5}{5}} = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$.
**Ответ: $y' = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$**
### 38.3. Найдите производную функции:
Здесь тоже используем то же правило $y' = n \cdot x^{n-1}$.
1) $y = x^{10}$
$n=10$. Значит, $y' = 10x^{10-1} = 10x^9$.
**Ответ: $y' = 10x^9$**
2) $y = x^{-6}$
$n=-6$. Значит, $y' = (-6)x^{-6-1} = -6x^{-7}$.
**Ответ: $y' = -6x^{-7}$**
3) $y = \frac{1}{x^8}$
Перепишем: $y = x^{-8}$. $n=-8$.
$y' = (-8)x^{-8-1} = -8x^{-9}$.
**Ответ: $y' = -8x^{-9}$**
4) $y = 8 - 3x$
Это похоже на задание 38.1, пункт 1.
* Производная от числа $8$ будет $0$.
* Производная от $-3x$ будет $-3$.
$y' = (8)' - (3x)' = 0 - 3 = -3$.
**Ответ: $y' = -3$**
5) $y = x^{\frac{7}{6}}$
$n=\frac{7}{6}$. Значит, $y' = \frac{7}{6} \cdot x^{\frac{7}{6}-1} = \frac{7}{6}x^{\frac{7}{6}-\frac{6}{6}} = \frac{7}{6}x^{\frac{1}{6}}$.
**Ответ: $y' = \frac{7}{6}x^{\frac{1}{6}}$**
6) $y = x^{-0,2}$
$n=-0,2$. Значит, $y' = (-0,2) \cdot x^{-0,2-1} = -0,2x^{-1,2}$.
**Ответ: $y' = -0,2x^{-1,2}$**
### 38.4. Продифференцируйте функцию:
Здесь нужно помнить, как корни записываются в виде степеней: $\sqrt[k]{x^m} = x^{\frac{m}{k}}$. И, конечно, используем правило $y' = n \cdot x^{n-1}$.
1) $y = \sqrt[4]{x}$
Перепишем: $y = x^{\frac{1}{4}}$. Здесь $n=\frac{1}{4}$.
$y' = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-\frac{4}{4}} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.
**Ответ: $y' = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$**
2) $y = \sqrt[8]{x^7}$
Перепишем: $y = x^{\frac{7}{8}}$. Здесь $n=\frac{7}{8}$.
$y' = \frac{7}{8} \cdot x^{\frac{7}{8}-1} = \frac{7}{8}x^{\frac{7}{8}-\frac{8}{8}} = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$.
**Ответ: $y' = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$**
3) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$
Перепишем: $y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$. Здесь $n=-\frac{1}{2}$.
$y' = (-\frac{1}{2}) \cdot x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-\frac{2}{2}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.
**Ответ: $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$**
4) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$
Перепишем: $y = \frac{1}{x^{\frac{5}{8}}} = x^{-\frac{5}{8}}$. Здесь $n=-\frac{5}{8}$.
$y' = (-\frac{5}{8}) \cdot x^{-\frac{5}{8}-1} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{5}{8}-\frac{8}{8}} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{13}{8}}$.
**Ответ: $y' = -\frac{5}{8}x^{-\frac{13}{8}}$**
