Вычисли значения выражений: 1) $9^{2/5} \cdot 27^{2/5}$ и 1) $(\frac{1}{81})^{-0,75} + (\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}}$

Привет! Давай вместе разберемся с этими выражениями. ### Задание 471 1) $$9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}}$$ Здесь у нас умножение чисел с одинаковыми степенями. Мы можем сначала умножить основания, а потом возвести в степень. Также, числа 9 и 27 — это степени числа 3, так что мы можем привести их к одному основанию. Преобразуем 9 и 27: $9 = 3^2$ $27 = 3^3$ Тогда выражение станет: $$(3^2)^{\frac{2}{5}} \cdot (3^3)^{\frac{2}{5}}$$ При возведении степени в степень показатели умножаются: $$3^{2 \cdot \frac{2}{5}} \cdot 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{6}{5}}$$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$3^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}} = 3^{\frac{10}{5}} = 3^2 = 9$$ **Ответ: 9** 2) $$7^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{2}{3}}$$ Здесь тоже самое: умножение чисел с одинаковыми степенями. Можно сначала перемножить основания, а потом возвести в степень. А ещё 49 — это $7^2$. Преобразуем 49: $49 = 7^2$ Тогда выражение станет: $$7^{\frac{2}{3}} \cdot (7^2)^{\frac{2}{3}}$$ При возведении степени в степень показатели умножаются: $$7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{2 \cdot \frac{2}{3}} = 7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{4}{3}}$$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$7^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} = 7^{\frac{6}{3}} = 7^2 = 49$$ **Ответ: 49** 3) $$144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}}$$ Здесь деление чисел с одинаковыми степенями. Мы можем сначала разделить основания, а потом возвести в степень. $$(144 : 9)^{\frac{3}{4}}$$ Выполним деление: $$144 : 9 = 16$$ Теперь возводим 16 в степень $\frac{3}{4}$: $$16^{\frac{3}{4}}$$ Число 16 можно представить как $2^4$. Тогда: $$(2^4)^{\frac{3}{4}}$$ При возведении степени в степень показатели умножаются: $$2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$$ **Ответ: 8** 4) $$150^2 : 6^2$$ Здесь деление чисел с одинаковыми степенями. Мы можем сначала разделить основания, а потом возвести в степень. $$(150 : 6)^2$$ Выполним деление: $$150 : 6 = 25$$ Теперь возводим 25 в квадрат: $$25^2 = 625$$ **Ответ: 625** ### Задание 472 1) $$\left(\frac{1}{81}\right)^{-0,75} + \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}}$$ Давай разбираться по порядку. Сначала посчитаем первую часть: $$\left(\frac{1}{81} ight)^{-0,75}$$ Отрицательный показатель степени переворачивает дробь. То есть $$\left(\frac{1}{a} ight)^{-b} = a^b$$ Значит, $$\left(\frac{1}{81} ight)^{-0,75} = 81^{0,75}$$ Десятичную дробь 0,75 можно записать как обыкновенную дробь $\frac{3}{4}$. $$81^{\frac{3}{4}}$$ Число 81 можно представить как $3^4$. $$(3^4)^{\frac{3}{4}}$$ При возведении степени в степень показатели умножаются: $$3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$$ Теперь посчитаем вторую часть: $$\left(\frac{1}{27} ight)^{-\frac{4}{3}}$$ Снова отрицательный показатель степени переворачивает дробь: $$\left(\frac{1}{27} ight)^{-\frac{4}{3}} = 27^{\frac{4}{3}}$$ Число 27 можно представить как $3^3$. $$(3^3)^{\frac{4}{3}}$$ При возведении степени в степень показатели умножаются: $$3^{3 \cdot \frac{4}{3}} = 3^4 = 81$$ Теперь сложим результаты: $$27 + 81 = 108$$ **Ответ: 108** 2) $$(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}$$ Начнём с первой части: $$(0,04)^{-1,5}$$ Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$$ $$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$$ Получаем: $$\left(\frac{1}{25} ight)^{-\frac{3}{2}}$$ Отрицательный показатель степени переворачивает дробь: $$25^{\frac{3}{2}}$$ Число 25 можно представить как $5^2$. $$(5^2)^{\frac{3}{2}}$$ При возведении степени в степень показатели умножаются: $$5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$$ Теперь посчитаем вторую часть: $$(0,125)^{-\frac{2}{3}}$$ Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$$ Получаем: $$\left(\frac{1}{8} ight)^{-\frac{2}{3}}$$ Отрицательный показатель степени переворачивает дробь: $$8^{\frac{2}{3}}$$ Число 8 можно представить как $2^3$. $$(2^3)^{\frac{2}{3}}$$ При возведении степени в степень показатели умножаются: $$2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$$ Теперь вычтем вторую часть из первой: $$125 - 4 = 121$$ **Ответ: 121**