Реши уравнение $x^2 + \frac{1}{x^2} - 2\left(x - \frac{1}{x}\right) = 3\frac{1}{2}$

Привет! Давай вместе решим эти уравнения. ### Задание 245. Решите уравнение: **а) $x^2 + \frac{1}{x^2} - 2\left(x - \frac{1}{x}\right) = 3\frac{1}{2}$** 1. Сначала давай сделаем замену. Пусть $y = x - \frac{1}{x}$. Тогда, если возвести обе части в квадрат, получим: $y^2 = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2$ $y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2$ $y^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$ Отсюда, $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$ 2. Теперь подставим это в наше исходное уравнение: $(y^2 + 2) - 2y = 3\frac{1}{2}$ $y^2 - 2y + 2 = \frac{7}{2}$ Чтобы было удобнее, давай перенесём всё в одну сторону и избавимся от дроби, умножив на 2: $2(y^2 - 2y + 2) = 7$ $2y^2 - 4y + 4 = 7$ $2y^2 - 4y + 4 - 7 = 0$ $2y^2 - 4y - 3 = 0$ 3. Решим это квадратное уравнение для $y$ с помощью формулы корней: $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Здесь $a = 2$, $b = -4$, $c = -3$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$ $y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{40}}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ $y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{40}}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ 4. Теперь вернёмся к замене $y = x - \frac{1}{x}$. Нам нужно решить два уравнения для $x$. **Случай 1:** $x - \frac{1}{x} = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ Умножим обе части на $2x$ (при условии $x \neq 0$): $2x^2 - 2 = (2 + \sqrt{10})x$ $2x^2 - (2 + \sqrt{10})x - 2 = 0$ Решим это квадратное уравнение: $D = (-(2 + \sqrt{10}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = (4 + 4\sqrt{10} + 10) + 16 = 14 + 4\sqrt{10} + 16 = 30 + 4\sqrt{10}$ $x_{1,2} = \frac{(2 + \sqrt{10}) \pm \sqrt{30 + 4\sqrt{10}}}{4}$ **Случай 2:** $x - \frac{1}{x} = \frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ Умножим обе части на $2x$ (при условии $x \neq 0$): $2x^2 - 2 = (2 - \sqrt{10})x$ $2x^2 - (2 - \sqrt{10})x - 2 = 0$ Решим это квадратное уравнение: $D = (-(2 - \sqrt{10}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = (4 - 4\sqrt{10} + 10) + 16 = 14 - 4\sqrt{10} + 16 = 30 - 4\sqrt{10}$ $x_{3,4} = \frac{(2 - \sqrt{10}) \pm \sqrt{30 - 4\sqrt{10}}}{4}$ **Ответ: $x_{1,2} = \frac{2 + \sqrt{10} \pm \sqrt{30 + 4\sqrt{10}}}{4}$, $x_{3,4} = \frac{2 - \sqrt{10} \pm \sqrt{30 - 4\sqrt{10}}}{4}$** **б) $x^2 + \frac{1}{x^2} - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = 8$** 1. Снова сделаем замену. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда, если возвести обе части в квадрат, получим: $y^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$ $y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2$ $y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ Отсюда, $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$ 2. Теперь подставим это в наше исходное уравнение: $(y^2 - 2) - 3y = 8$ $y^2 - 3y - 2 = 8$ $y^2 - 3y - 2 - 8 = 0$ $y^2 - 3y - 10 = 0$ 3. Решим это квадратное уравнение для $y$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$ $y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 7}{2}$ $y_1 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $y_2 = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ 4. Теперь вернёмся к замене $y = x + \frac{1}{x}$. Нам нужно решить два уравнения для $x$. **Случай 1:** $x + \frac{1}{x} = 5$ Умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$): $x^2 + 1 = 5x$ $x^2 - 5x + 1 = 0$ Решим это квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$ $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ **Случай 2:** $x + \frac{1}{x} = -2$ Умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$): $x^2 + 1 = -2x$ $x^2 + 2x + 1 = 0$ Мы видим, что это формула квадрата суммы: $(x+1)^2 = 0$ Значит, $x + 1 = 0$ $x = -1$ **Ответ: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$, $x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$, $x_3 = -1$**