Представьте в виде многочлена: (a+b)(a-b+1)-(a-b)(a+b-1)

Привет! Давай вместе разберём эти упражнения. ### Упражнение 2.1. Представьте в виде многочлена: а) $(a+b)(a-b+1)-(a-b)(a+b-1)$ Сначала раскроем скобки в каждой части выражения. Будь внимателен к знакам, особенно после минуса! Первая часть: $(a+b)(a-b+1) = a(a-b+1) + b(a-b+1) = a^2 - ab + a + ab - b^2 + b = a^2 - b^2 + a + b$ Вторая часть: $(a-b)(a+b-1) = a(a+b-1) - b(a+b-1) = a^2 + ab - a - ab - b^2 + b = a^2 - b^2 - a + b$ Теперь вычтем вторую часть из первой: $(a^2 - b^2 + a + b) - (a^2 - b^2 - a + b) = a^2 - b^2 + a + b - a^2 + b^2 + a - b$ Сокращаем похожие члены: $a^2 - a^2 = 0$ $-b^2 + b^2 = 0$ $a + a = 2a$ $b - b = 0$ **Ответ: $2a$** б) $(a+3b)(a+b+2)-(a+b)(a+3b+2)$ Давай раскроем скобки в первой части: $(a+3b)(a+b+2) = a(a+b+2) + 3b(a+b+2) = a^2 + ab + 2a + 3ab + 3b^2 + 6b = a^2 + 4ab + 2a + 3b^2 + 6b$ Теперь раскроем скобки во второй части: $(a+b)(a+3b+2) = a(a+3b+2) + b(a+3b+2) = a^2 + 3ab + 2a + ab + 3b^2 + 2b = a^2 + 4ab + 2a + 3b^2 + 2b$ Теперь вычтем вторую часть из первой: $(a^2 + 4ab + 2a + 3b^2 + 6b) - (a^2 + 4ab + 2a + 3b^2 + 2b) = a^2 + 4ab + 2a + 3b^2 + 6b - a^2 - 4ab - 2a - 3b^2 - 2b$ Сокращаем похожие члены: $a^2 - a^2 = 0$ $4ab - 4ab = 0$ $2a - 2a = 0$ $3b^2 - 3b^2 = 0$ $6b - 2b = 4b$ **Ответ: $4b$** в) $(a^2-3a+1)(2a+1)^2$ Сначала возведём $(2a+1)$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $(2a+1)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 + 4a + 1$ Теперь умножим полученный многочлен на $(a^2-3a+1)$: $(a^2-3a+1)(4a^2+4a+1) = a^2(4a^2+4a+1) - 3a(4a^2+4a+1) + 1(4a^2+4a+1)$ Раскрываем скобки: $a^2 \cdot 4a^2 + a^2 \cdot 4a + a^2 \cdot 1 - 3a \cdot 4a^2 - 3a \cdot 4a - 3a \cdot 1 + 1 \cdot 4a^2 + 1 \cdot 4a + 1 \cdot 1$ $= 4a^4 + 4a^3 + a^2 - 12a^3 - 12a^2 - 3a + 4a^2 + 4a + 1$ Собираем одинаковые степени $a$: $4a^4$ $4a^3 - 12a^3 = -8a^3$ $a^2 - 12a^2 + 4a^2 = -7a^2$ $-3a + 4a = a$ $1$ **Ответ: $4a^4 - 8a^3 - 7a^2 + a + 1$** г) $(2b+3)(b-2)^2$ Сначала возведём $(b-2)$ в квадрат, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $(b-2)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = b^2 - 4b + 4$ Теперь умножим $(2b+3)$ на полученный многочлен: $(2b+3)(b^2-4b+4) = 2b(b^2-4b+4) + 3(b^2-4b+4)$ Раскрываем скобки: $2b \cdot b^2 - 2b \cdot 4b + 2b \cdot 4 + 3 \cdot b^2 - 3 \cdot 4b + 3 \cdot 4$ $= 2b^3 - 8b^2 + 8b + 3b^2 - 12b + 12$ Собираем одинаковые степени $b$: $2b^3$ $-8b^2 + 3b^2 = -5b^2$ $8b - 12b = -4b$ $12$ **Ответ: $2b^3 - 5b^2 - 4b + 12$** д) $(a-1)^3+3(a-1)^2+3(a-1)+1$ Это выражение очень похоже на формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Если мы представим $x = (a-1)$ и $y = 1$, то как раз получим наше выражение! Тогда $(a-1)^3+3(a-1)^2 \cdot 1+3(a-1) \cdot 1^2+1^3 = ((a-1)+1)^3$ Упрощаем: $((a-1)+1)^3 = (a-1+1)^3 = a^3$ **Ответ: $a^3$** е) $(a+1)^4+(a-1)^4$ Здесь можно использовать формулу бинома Ньютона или возводить в квадрат дважды. Давай возведём в квадрат дважды. Сначала запишем так: $( (a+1)^2 )^2 + ( (a-1)^2 )^2$ Вспомним формулы квадрата суммы и разности: $(a+1)^2 = a^2+2a+1$ $(a-1)^2 = a^2-2a+1$ Теперь подставим это в наше выражение: $(a^2+2a+1)^2 + (a^2-2a+1)^2$ Это можно записать как $(X+Y)^2 + (X-Y)^2$, где $X=a^2+1$ и $Y=2a$. Мы знаем, что $(X+Y)^2 + (X-Y)^2 = X^2+2XY+Y^2 + X^2-2XY+Y^2 = 2X^2+2Y^2$ Теперь подставим $X$ и $Y$ обратно: $2(a^2+1)^2 + 2(2a)^2$ $= 2( (a^2)^2 + 2a^2 \cdot 1 + 1^2 ) + 2(4a^2)$ $= 2(a^4 + 2a^2 + 1) + 8a^2$ $= 2a^4 + 4a^2 + 2 + 8a^2$ $= 2a^4 + 12a^2 + 2$ **Ответ: $2a^4 + 12a^2 + 2$** ж) $(b-2)(b^4+2b^3+4b^2+8b+16)$ Это очень похоже на формулу разности кубов $x^5 - y^5$. Если мы представим $x=b$ и $y=2$, то мы ищем формулу $x^5 - y^5 = (x-y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$. Давай проверим: $(b-2)(b^4+b^3 \cdot 2 + b^2 \cdot 2^2 + b \cdot 2^3 + 2^4)$ $(b-2)(b^4+2b^3+4b^2+8b+16)$ Это точно соответствует формуле! Значит, это равно $b^5 - 2^5$. $b^5 - 2^5 = b^5 - 32$ **Ответ: $b^5 - 32$** з) $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$ Сначала рассмотрим первые две скобки: $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$ Это похоже на формулу $(X+Y)(X-Y) = X^2 - Y^2$, где $X = a^2+b^2$ и $Y = ab$. $( (a^2+b^2) + ab )( (a^2+b^2) - ab ) = (a^2+b^2)^2 - (ab)^2$ Раскроем $(a^2+b^2)^2$: $(a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$ И $(ab)^2 = a^2b^2$ Значит, первая часть выражения будет: $a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4$ Теперь умножим полученный результат на третью скобку $(a^4-a^2b^2+b^4)$: $(a^4+a^2b^2+b^4)(a^4-a^2b^2+b^4)$ Это снова формула $(X+Y)(X-Y) = X^2 - Y^2$, где $X = a^4+b^4$ и $Y = a^2b^2$. $( (a^4+b^4) + a^2b^2 )( (a^4+b^4) - a^2b^2 ) = (a^4+b^4)^2 - (a^2b^2)^2$ Раскроем $(a^4+b^4)^2$: $(a^4)^2 + 2a^4b^4 + (b^4)^2 = a^8 + 2a^4b^4 + b^8$ И $(a^2b^2)^2 = a^4b^4$ Собираем всё вместе: $a^8 + 2a^4b^4 + b^8 - a^4b^4 = a^8 + a^4b^4 + b^8$ **Ответ: $a^8 + a^4b^4 + b^8$**