Укажи допустимые значения переменной в выражении $x^2 - 8x + 9$

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. В них нужно найти, при каких значениях буквы (переменной) выражение имеет смысл или равно нулю. Это очень похоже на то, как ты играешь в игру, где нужно соблюдать правила, чтобы игра не "сломалась". ### 11. Укажите допустимые значения переменной в выражении: Допустимые значения переменной — это такие значения, при которых выражение имеет смысл. Например, на ноль делить нельзя! Поэтому знаменатель дроби не может быть равен нулю. Если знаменателя нет, то переменная может быть любой. а) $x^2 - 8x + 9$; Здесь нет деления, поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** б) $\frac{1}{6x-3}$; Знаменатель $6x-3$ не должен быть равен нулю. Значит, $6x-3 \ne 0$. Решаем это как уравнение: $6x \ne 3$ $x \ne \frac{3}{6}$ $x \ne \frac{1}{2}$ **Ответ: $x \ne \frac{1}{2}$.** в) $\frac{3x-6}{7}$; Здесь знаменатель равен 7, а 7 никогда не бывает нулём. Поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$; Знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Это значит, что ни $4x$, ни $(x+1)$ не могут быть нулём. $4x \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ $x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$ **Ответ: $x \ne 0$ и $x \ne -1$.** д) $\frac{x-5}{x^2+25} - 3x$; Знаменатель $x^2+25$ не должен быть равен нулю. Мы знаем, что $x^2$ всегда больше или равен нулю ($x^2 \ge 0$). Значит, $x^2+25$ всегда будет больше или равно 25, а значит, никогда не будет равно нулю. Так что $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$; Здесь у нас две дроби, и у каждой свой знаменатель, который не должен быть равен нулю. Для первой дроби: $x+8 \ne 0 \Rightarrow x \ne -8$ Для второй дроби: $x \ne 0$ **Ответ: $x \ne -8$ и $x \ne 0$.** ### 12. Найдите допустимые значения переменной в выражении: Этот пункт похож на предыдущий. Ищем значения, при которых знаменатель не равен нулю. а) $\frac{5y-8}{11}$; Знаменатель равен 11, он никогда не равен нулю. Значит, $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число.** б) $\frac{25}{y-9}$; Знаменатель $y-9$ не должен быть равен нулю. $y-9 \ne 0 \Rightarrow y \ne 9$. **Ответ: $y \ne 9$.** в) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$; Знаменатель $y^2-2y$ не должен быть равен нулю. Можно вынести $y$ за скобки: $y(y-2) \ne 0$. Это значит, что ни $y$, ни $(y-2)$ не могут быть нулём. $y \ne 0$ $y-2 \ne 0 \Rightarrow y \ne 2$ **Ответ: $y \ne 0$ и $y \ne 2$.** г) $\frac{y-10}{y^2+3}$; Знаменатель $y^2+3$ не должен быть равен нулю. Так как $y^2 \ge 0$, то $y^2+3 \ge 3$, а значит, никогда не будет нулём. $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число.** д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$; Здесь тоже две дроби, у каждой свой знаменатель. Для первой дроби: $y-6 \ne 0 \Rightarrow y \ne 6$ Для второй дроби: $y+6 \ne 0 \Rightarrow y \ne -6$ **Ответ: $y \ne 6$ и $y \ne -6$.** е) $\frac{32}{y} + \frac{y+1}{y+7}$; Снова две дроби, два знаменателя. Для первой дроби: $y \ne 0$ Для второй дроби: $y+7 \ne 0 \Rightarrow y \ne -7$ **Ответ: $y \ne 0$ и $y \ne -7$.** ### 13. Найдите область определения функции: Область определения функции — это все значения $x$, при которых функция существует. По сути, это то же самое, что и допустимые значения переменной. а) $y = \frac{1}{x-2}$; Знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. $x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$. **Ответ: $x \ne 2$.** б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$; Знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. $x \ne 0$ $x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$ **Ответ: $x \ne 0$ и $x \ne -1$.** в) $y = x + \frac{1}{x+5}$; Здесь есть дробь $\frac{1}{x+5}$, поэтому её знаменатель $x+5$ не должен быть равен нулю. $x+5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5$. **Ответ: $x \ne -5$.** ### 14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно: Чтобы дробь была равна какому-то числу, нужно просто приравнять её к этому числу и решить уравнение. а) 1; $\frac{x-3}{5} = 1$ Умножаем обе части на 5: $x-3 = 5$ $x = 5+3$ $x = 8$ **Ответ: $x = 8$.** б) 0; $\frac{x-3}{5} = 0$ Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (здесь знаменатель 5, он не ноль). $x-3 = 0$ $x = 3$ **Ответ: $x = 3$.** в) -1; $\frac{x-3}{5} = -1$ Умножаем обе части на 5: $x-3 = -5$ $x = -5+3$ $x = -2$ **Ответ: $x = -2$.** г) 3? $\frac{x-3}{5} = 3$ Умножаем обе части на 5: $x-3 = 15$ $x = 15+3$ $x = 18$ **Ответ: $x = 18$.** ### 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель НЕ равен нулю. Всегда проверяй, чтобы знаменатель при найденном значении не превратился в ноль! а) $\frac{y-5}{8}$; Числитель $y-5$ должен быть равен нулю. Знаменатель 8 уже не равен нулю. $y-5 = 0$ $y = 5$ **Ответ: $y = 5$.** б) $\frac{2y+3}{10}$; Числитель $2y+3$ должен быть равен нулю. Знаменатель 10 уже не равен нулю. $2y+3 = 0$ $2y = -3$ $y = -\frac{3}{2}$ $y = -1.5$ **Ответ: $y = -1.5$.** в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$; Числитель $x(x-1)$ должен быть равен нулю. Это происходит, когда $x=0$ или $x-1=0 \Rightarrow x=1$. При этом знаменатель $x+4$ не должен быть равен нулю. Проверим: Если $x=0$, то $x+4 = 0+4 = 4 \ne 0$. Подходит. Если $x=1$, то $x+4 = 1+4 = 5 \ne 0$. Подходит. **Ответ: $x = 0$ и $x = 1$.** г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$; Числитель $x(x+3)$ должен быть равен нулю. Это происходит, когда $x=0$ или $x+3=0 \Rightarrow x=-3$. При этом знаменатель $2x+6$ не должен быть равен нулю. Заметим, что $2x+6 = 2(x+3)$. Проверим: Если $x=0$, то $2x+6 = 2(0)+6 = 6 \ne 0$. Подходит. Если $x=-3$, то $2x+6 = 2(-3)+6 = -6+6 = 0$. Ой! Знаменатель равен нулю, а на ноль делить нельзя! Значит, $x=-3$ не подходит. **Ответ: $x = 0$.** ### 16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: Это задание повторяет логику предыдущего: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю. а) $\frac{m+4}{6}$; Числитель $m+4$ равен нулю. Знаменатель 6 не равен нулю. $m+4 = 0$ $m = -4$ **Ответ: $m = -4$.** б) $\frac{7-5n}{11}$; Числитель $7-5n$ равен нулю. Знаменатель 11 не равен нулю. $7-5n = 0$ $-5n = -7$ $n = \frac{-7}{-5}$ $n = \frac{7}{5}$ $n = 1.4$ **Ответ: $n = 1.4$.** в) $\frac{b^2-b}{b+2}$; Числитель $b^2-b$ равен нулю. Вынесем $b$ за скобки: $b(b-1)=0$. Это значит, что $b=0$ или $b-1=0 \Rightarrow b=1$. Знаменатель $b+2$ не должен быть равен нулю. Проверим: Если $b=0$, то $b+2 = 0+2 = 2 \ne 0$. Подходит. Если $b=1$, то $b+2 = 1+2 = 3 \ne 0$. Подходит. **Ответ: $b = 0$ и $b = 1$.** г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$; Числитель $y^2-25$ равен нулю. Это формула разности квадратов: $(y-5)(y+5)=0$. Значит, $y-5=0 \Rightarrow y=5$ или $y+5=0 \Rightarrow y=-5$. Знаменатель $3y-15$ не должен быть равен нулю. $3y-15 = 3(y-5)$. Проверим: Если $y=5$, то $3y-15 = 3(5)-15 = 15-15 = 0$. Ой! Знаменатель равен нулю. Значит, $y=5$ не подходит. Если $y=-5$, то $3y-15 = 3(-5)-15 = -15-15 = -30 \ne 0$. Подходит. **Ответ: $y = -5$.** ### 17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: Знак дроби $\frac{a}{b}$ зависит от знаков числителя $a$ и знаменателя $b$. Вспомни правило умножения: если знаки одинаковые, то результат положительный, если разные — отрицательный. а) $a > 0$ и $b > 0$; Если $a$ положительное ($a>0$) и $b$ положительное ($b>0$), то $\frac{\text{положительное}}{\text{положительное}}$ будет положительным. **Ответ: Знак дроби положительный ($>0$).** б) $a > 0$ и $b < 0$; Если $a$ положительное ($a>0$) и $b$ отрицательное ($b<0$), то $\frac{\text{положительное}}{\text{отрицательное}}$ будет отрицательным. **Ответ: Знак дроби отрицательный ($<0$).**