Проверь справедливость равенств 381 и 382. Вычисли выражения 383 и 384. Реши уравнения 385, 386, 387, 388. Найди значение числового выражения 389.

Привет! Давай вместе разберёмся с этими примерами на корни. Это не так сложно, как кажется! **Проверьте справедливость равенств (381–382).** **381.** а) $\sqrt[4]{16} = 2$ Чтобы проверить, возведем 2 в 4-ю степень: $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. Значит, равенство верное. б) $\sqrt[7]{-1} = -1$ Возведем -1 в 7-ю степень: $(-1)^7 = -1$. Равенство верное. в) $\sqrt[10]{1024} = 2$ Возведем 2 в 10-ю степень: $2^{10} = 1024$. Равенство верное. г) $\sqrt[5]{-243} = -3$ Возведем -3 в 5-ю степень: $(-3)^5 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times 9 \times (-3) = 81 \times (-3) = -243$. Равенство верное. **382.** а) $\sqrt[17]{1} = 1$ Возведем 1 в 17-ю степень: $1^{17} = 1$. Равенство верное. б) $\sqrt[6]{64} = 2$ Возведем 2 в 6-ю степень: $2^6 = 64$. Равенство верное. в) $\sqrt[3]{-343} = -7$ Возведем -7 в 3-ю степень: $(-7)^3 = (-7) \times (-7) \times (-7) = 49 \times (-7) = -343$. Равенство верное. г) $\sqrt[19]{0} = 0$ Возведем 0 в 19-ю степень: $0^{19} = 0$. Равенство верное. **Вычислите (383–384).** **383.** а) $\sqrt[3]{-27}$ Какое число, умноженное само на себя 3 раза, даст -27? Это -3, потому что $(-3)^3 = -27$. **Ответ: -3** б) $\sqrt[4]{81}$ Какое число, умноженное само на себя 4 раза, даст 81? Это 3, потому что $3^4 = 81$. **Ответ: 3** в) $\sqrt[5]{-32}$ Какое число, умноженное само на себя 5 раз, даст -32? Это -2, потому что $(-2)^5 = -32$. **Ответ: -2** г) $\sqrt[3]{64}$ Какое число, умноженное само на себя 3 раза, даст 64? Это 4, потому что $4^3 = 64$. **Ответ: 4** **384.** а) $\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$ Мы можем найти корень отдельно от числителя и знаменателя: $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$. **Ответ: $\frac{1}{2}$** б) $\sqrt[4]{\frac{81}{625}}$ Найдём корни отдельно: $\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{3}{5}$. **Ответ: $\frac{3}{5}$** в) $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$ Здесь можно вынести минус за корень и взять корень от дроби: $-\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{3}{2}$. **Ответ: $-\frac{3}{2}$** г) $\sqrt[4]{\frac{81}{256}}$ Опять же, корни от числителя и знаменателя отдельно: $\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}} = \frac{3}{4}$. **Ответ: $\frac{3}{4}$** **Решите уравнения (385–388).** **385.** а) $x^3 + 4 = 0$ Переносим 4 в правую часть: $x^3 = -4$. Теперь найдём корень третьей степени из -4: $x = \sqrt[3]{-4}$. **Ответ: $x = \sqrt[3]{-4}$** б) $x^6 = 5$ Чтобы найти $x$, нужно взять корень шестой степени из 5. Так как степень чётная, будет два ответа: $x = \pm \sqrt[6]{5}$. **Ответ: $x = \pm \sqrt[6]{5}$** в) $x^3 = 4$ Чтобы найти $x$, нужно взять корень третьей степени из 4: $x = \sqrt[3]{4}$. **Ответ: $x = \sqrt[3]{4}$** г) $x^4 = 10$ Чтобы найти $x$, нужно взять корень четвёртой степени из 10. Так как степень чётная, будет два ответа: $x = \pm \sqrt[4]{10}$. **Ответ: $x = \pm \sqrt[4]{10}$** **386.** а) $x^{10} - 15 = 0$ Переносим 15 в правую часть: $x^{10} = 15$. Так как степень чётная, будет два ответа: $x = \pm \sqrt[10]{15}$. **Ответ: $x = \pm \sqrt[10]{15}$** б) $x^6 - 64 = 0$ Переносим 64 в правую часть: $x^6 = 64$. Так как степень чётная, будет два ответа: $x = \pm \sqrt[6]{64}$. Мы знаем, что $2^6 = 64$, поэтому $x = \pm 2$. **Ответ: $x = \pm 2$** в) $x^7 + 128 = 0$ Переносим 128 в правую часть: $x^7 = -128$. Теперь найдём корень седьмой степени из -128: $x = \sqrt[7]{-128}$. Мы знаем, что $(-2)^7 = -128$, поэтому $x = -2$. **Ответ: $x = -2$** г) $x^5 = 3$ Чтобы найти $x$, нужно взять корень пятой степени из 3: $x = \sqrt[5]{3}$. **Ответ: $x = \sqrt[5]{3}$** **387.** а) $16x^4 - 1 = 0$ Сначала переносим 1: $16x^4 = 1$. Затем делим на 16: $x^4 = \frac{1}{16}$. Теперь берём корень четвёртой степени. Так как степень чётная, будет два ответа: $x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{2}$. **Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}$** б) $0,02x^6 - 1,28 = 0$ Сначала переносим 1,28: $0,02x^6 = 1,28$. Делим на 0,02: $x^6 = \frac{1,28}{0,02} = \frac{128}{2} = 64$. Теперь берём корень шестой степени. Так как степень чётная, будет два ответа: $x = \pm \sqrt[6]{64} = \pm 2$. **Ответ: $x = \pm 2$** в) $0,01x^3 + 10 = 0$ Переносим 10: $0,01x^3 = -10$. Делим на 0,01: $x^3 = \frac{-10}{0,01} = -1000$. Берём корень третьей степени: $x = \sqrt[3]{-1000} = -10$. **Ответ: $x = -10$** г) $12\frac{3}{4} - \frac{3}{4}x^2 = 0$ Сначала переведём смешанную дробь в неправильную: $12\frac{3}{4} = \frac{12 \times 4 + 3}{4} = \frac{48 + 3}{4} = \frac{51}{4}$. Теперь уравнение: $\frac{51}{4} - \frac{3}{4}x^2 = 0$. Переносим: $\frac{51}{4} = \frac{3}{4}x^2$. Умножаем обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя: $51 = 3x^2$. Делим на 3: $x^2 = \frac{51}{3} = 17$. Берём квадратный корень. Так как степень чётная, будет два ответа: $x = \pm \sqrt{17}$. **Ответ: $x = \pm \sqrt{17}$** **388.** а) $\sqrt[3]{x} = -0,6$ Чтобы найти $x$, нужно возвести обе части уравнения в 3-ю степень: $x = (-0,6)^3 = -0,6 \times -0,6 \times -0,6 = 0,36 \times -0,6 = -0,216$. **Ответ: $x = -0,216$** б) $\sqrt[4]{x} = 3$ Чтобы найти $x$, нужно возвести обе части уравнения в 4-ю степень: $x = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$. **Ответ: $x = 81$** в) $\sqrt{x} = 5$ Чтобы найти $x$, нужно возвести обе части уравнения в квадрат: $x = 5^2 = 25$. **Ответ: $x = 25$** г) $\sqrt[7]{x} = -1$ Чтобы найти $x$, нужно возвести обе части уравнения в 7-ю степень: $x = (-1)^7 = -1$. **Ответ: $x = -1$** **Найдите значение числового выражения (389–394).** **389.** а) $(-\sqrt[4]{11})^4$ Здесь минус возводится в чётную степень (4), значит, результат будет положительным. Корень четвёртой степени и степень 4 взаимно уничтожаются, остаётся число под корнем: $11$. **Ответ: 11** б) $(2\sqrt[5]{-2})^5$ Сначала возведём в 5-ю степень число 2, а потом корень. $2^5 = 32$. $(\sqrt[5]{-2})^5 = -2$. Перемножаем результаты: $32 \times (-2) = -64$. **Ответ: -64** в) $(\sqrt[8]{7})^8$ Корень восьмой степени и степень 8 взаимно уничтожаются. Остаётся число под корнем: $7$. **Ответ: 7** г) $(-\sqrt[6]{2})^6$ Здесь минус возводится в чётную степень (6), значит, результат будет положительным. Корень шестой степени и степень 6 взаимно уничтожаются, остаётся число под корнем: $2$. **Ответ: 2**