Докажи, что функция $y = x^3 + 3x$ возрастает.

Давайте докажем, что функции возрастают на заданных промежутках! а) $y = x^3 + 3x$ Чтобы понять, возрастает функция или убывает, нужно найти её «скорость изменения», то есть производную. Если производная будет положительной, значит, функция возрастает. Находим производную: $$y' = (x^3 + 3x)' = (x^3)' + (3x)' = 3x^2 + 3$$ Теперь посмотрим на это выражение $3x^2 + 3$. Мы знаем, что $x^2$ всегда больше или равно нулю (ведь любое число в квадрате даёт положительный результат или ноль). Значит, $3x^2$ тоже всегда больше или равно нулю. А если к этому прибавить ещё 3, то результат будет всегда больше нуля ($3x^2 + 3 > 0$) при любых значениях $x$. Так как производная всегда положительна, функция $y = x^3 + 3x$ возрастает на всей числовой прямой. б) $y = x^4 + 3x$, при $x > 0$ Снова найдём производную, чтобы понять, как меняется функция: $$y' = (x^4 + 3x)' = (x^4)' + (3x)' = 4x^3 + 3$$ Нам дано, что $x > 0$. Если $x$ — положительное число, то $x^3$ тоже будет положительным (например, $2^3 = 8$). Значит, $4x^3$ будет положительным. А если к положительному числу $4x^3$ прибавить ещё 3, то результат точно будет больше нуля ($4x^3 + 3 > 0$) при всех $x > 0$. Так как производная положительна для $x > 0$, функция $y = x^4 + 3x$ возрастает на промежутке $x > 0$.