Найти неизвестные углы в $\triangle ABC$.

Привет! Давай вместе найдем неизвестные углы в треугольниках. Помни, что сумма всех углов в любом треугольнике всегда равна 180 градусам. ### Задание 1 Известны два угла: $35^\circ$ и $45^\circ$. Чтобы найти третий, вычтем их сумму из $180^\circ$. $$\angle B = 180^\circ - (35^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$$ **Ответ: $\angle B = 100^\circ$** ### Задание 2 Известны углы: внешний угол $\angle A = 110^\circ$ и внутренний угол $\angle B = 40^\circ$. Сначала найдем внутренний угол $\angle A$, который смежен с внешним углом. $$\angle A_{внутренний} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$ Теперь найдем третий угол $\angle C$. $$\angle C = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$ **Ответ: $\angle A = 70^\circ$, $\angle C = 70^\circ$** ### Задание 3 Известны углы: внешний угол $\angle B = 120^\circ$ и внешний угол $\angle C = 110^\circ$. Сначала найдем внутренние углы $\angle B$ и $\angle C$, которые смежны с внешними углами. $$\angle B_{внутренний} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ $$\angle C_{внутренний} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$ Теперь найдем третий угол $\angle A$. $$\angle A = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$ **Ответ: $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 70^\circ$** ### Задание 4 Это прямоугольный треугольник, потому что угол $\angle C$ обозначен прямым углом, то есть $90^\circ$. Известен также угол $\angle A = 30^\circ$. Найдем угол $\angle B$. $$\angle B = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ **Ответ: $\angle B = 60^\circ$** ### Задание 5 Это тоже прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle C = 90^\circ$. Известен внешний угол $\angle B = 130^\circ$. Найдем внутренний угол $\angle B$. $$\angle B_{внутренний} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$ Теперь найдем угол $\angle A$. $$\angle A = 180^\circ - (90^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$ **Ответ: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 50^\circ$** ### Задание 6 Известны углы: внешний угол $\angle A = 40^\circ$ и внутренний угол $\angle C = 105^\circ$. Найдем внутренний угол $\angle A$. $$\angle A_{внутренний} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$ А здесь что-то не так! Сумма двух углов уже больше $180^\circ$ ($140^\circ + 105^\circ = 245^\circ$). Такого треугольника быть не может. Возможно, внешний угол $\angle A$ был внутренним, или угол $\angle A$ на рисунке — это $\angle BAC$. Предположим, что $40^\circ$ – это внутренний угол $\angle A$. **Допущение: Угол $\angle A$ на рисунке $40^\circ$ является внутренним углом треугольника.** Если $\angle A = 40^\circ$ и $\angle C = 105^\circ$, то $\angle B$ равен: $$\angle B = 180^\circ - (40^\circ + 105^\circ) = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$$ **Ответ: $\angle B = 35^\circ$ (при допущении, что $\angle A = 40^\circ$ — внутренний)** ### Задание 7 Это равнобедренный треугольник, потому что стороны $AB$ и $BC$ отмечены одинаковыми черточками. Это значит, что углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C$. Известен угол $\angle C = 70^\circ$. Значит, $\angle A = 70^\circ$. Найдем угол $\angle B$. $$\angle B = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$ **Ответ: $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 40^\circ$** ### Задание 8 Это тоже равнобедренный треугольник, потому что стороны $AB$ и $BC$ равны. Угол при вершине $\angle B = 50^\circ$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C$. Найдем их сумму: $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Теперь разделим на 2. $$\angle A = \angle C = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 130^\circ / 2 = 65^\circ$$ **Ответ: $\angle A = 65^\circ$, $\angle C = 65^\circ$** ### Задание 9 Это равнобедренный треугольник, потому что стороны $AB$ и $BC$ равны. Известен внешний угол $\angle C = 125^\circ$. Найдем внутренний угол $\angle C$. $$\angle C_{внутренний} = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$$ Так как треугольник равнобедренный, $\angle A = \angle C_{внутренний} = 55^\circ$. Теперь найдем угол $\angle B$. $$\angle B = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$ **Ответ: $\angle A = 55^\circ$, $\angle B = 70^\circ$, $\angle C = 55^\circ$** ### Задание 10 Это равнобедренный треугольник, так как стороны $AB$ и $BC$ равны. Известен угол $\angle B = 140^\circ$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C$. Найдем их сумму: $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. Теперь разделим на 2. $$\angle A = \angle C = (180^\circ - 140^\circ) / 2 = 40^\circ / 2 = 20^\circ$$ **Ответ: $\angle A = 20^\circ$, $\angle C = 20^\circ$** ### Задание 11 Дано, что $AB \parallel CD$. Это значит, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Угол $\angle ACD$ состоит из двух углов: $60^\circ$ и $50^\circ$. Значит, $\angle ACD = 60^\circ + 50^\circ = 110^\circ$. Здесь $AC$ — секущая при параллельных прямых $AB$ и $CD$. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ — это накрест лежащие углы, а значит, они равны. $$\angle BAC = \angle ACD = 110^\circ$$ Теперь посмотрим на треугольник $\triangle ABC$. Угол $\angle ACB$ — это часть угла $\angle ACD$. По рисунку видно, что $\angle ACB = 60^\circ$. Угол $\angle A$ в треугольнике $\triangle ABC$ — это $\angle BAC = 110^\circ$. Найдем угол $\angle B$. $$\angle B = 180^\circ - (110^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$$ **Ответ: $\angle A = 110^\circ$, $\angle B = 10^\circ$, $\angle ACB = 60^\circ$** ### Задание 12 У нас есть треугольник $\triangle ABC$ и отрезок $BD$. Известно, что $\angle A = 30^\circ$. Также дано, что отрезки $AD$, $DC$ и $BD$ равны. Если $AD = BD$, то треугольник $\triangle ABD$ равнобедренный, а значит, углы при основании $AB$ равны: $\angle ABD = \angle A = 30^\circ$. Тогда угол $\angle ADB$ равен: $$\angle ADB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$ Углы $\angle ADB$ и $\angle BDC$ смежные, значит их сумма $180^\circ$. $$\angle BDC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ Теперь посмотрим на треугольник $\triangle BDC$. Известно, что $BD = DC$, значит, он тоже равнобедренный. Углы при основании $BC$ равны: $\angle DBC = \angle C$. Мы знаем $\angle BDC = 60^\circ$. Тогда: $$\angle DBC = \angle C = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$$ Итак, все углы треугольника $\triangle BDC$ равны $60^\circ$, то есть это равносторонний треугольник. Теперь найдем углы большого треугольника $\triangle ABC$. $\angle A = 30^\circ$ $\angle C = 60^\circ$ $\angle B = \angle ABD + \angle DBC = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$ Проверим сумму углов: $30^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Всё верно! **Ответ: $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 60^\circ$**