Найти неизвестные углы в 12 треугольниках.

Привет! Давай вместе разберёмся с углами в треугольниках. Помнишь, что сумма всех углов в любом треугольнике всегда 180 градусов? 1. Нам даны два угла: $35^\circ$ и $45^\circ$. Чтобы найти третий угол $B$, просто вычтем известные углы из $180^\circ$: $$ \angle B = 180^\circ - 35^\circ - 45^\circ = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ $$ **Ответ: $\angle B = 100^\circ$** 2. Здесь нам дан угол $B = 40^\circ$ и внешний угол при вершине $C$, который равен $110^\circ$. Сначала найдём внутренний угол $C$. Он вместе с внешним углом составляет $180^\circ$ (это смежные углы): $$ \angle C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $$ Теперь, зная углы $B$ и $C$, найдём угол $A$: $$ \angle A = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 70^\circ$, $\angle C = 70^\circ$** 3. В этом треугольнике нам даны угол $C = 110^\circ$ и внешний угол при вершине $B$, который равен $120^\circ$. Сначала найдём внутренний угол $B$. Он вместе с внешним углом составляет $180^\circ$ (смежные углы): $$ \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $$ Теперь, зная углы $B$ и $C$, найдём угол $A$: $$ \angle A = 180^\circ - 60^\circ - 110^\circ = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 10^\circ$, $\angle B = 60^\circ$** 4. Это прямоугольный треугольник, потому что угол $C$ равен $90^\circ$ (на это указывает квадратик). Нам дан угол $A = 30^\circ$. Чтобы найти угол $B$, вычтем известные углы из $180^\circ$: $$ \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $$ **Ответ: $\angle B = 60^\circ$** 5. У нас снова прямоугольный треугольник, потому что угол $C$ равен $90^\circ$. Нам дан внешний угол при вершине $B$, который равен $130^\circ$. Сначала найдём внутренний угол $B$. Он вместе с внешним углом составляет $180^\circ$: $$ \angle B = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $$ Теперь, зная углы $C$ и $B$, найдём угол $A$: $$ \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 50^\circ$** 6. Нам даны внешний угол при вершине $A$, который равен $40^\circ$, и угол $C = 105^\circ$. Сначала найдём внутренний угол $A$. Он вместе с внешним углом составляет $180^\circ$: $$ \angle A = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ $$ Подожди, здесь что-то не так! Сумма углов в треугольнике не может быть больше $180^\circ$. Давай внимательнее посмотрим на рисунок. Угол $40^\circ$ — это часть внешнего угла, но не весь внешний угол. Угол $40^\circ$ — это угол между продолжением стороны $BA$ и стороной $CA$. Это внешний угол треугольника. Или же это угол $CAB$ в другом направлении. Обычно, внешний угол к $\angle A$ был бы $180^\circ - \angle A$. Давай предположим, что $40^\circ$ - это просто угол при вершине $A$. **Допущение: Угол $A = 40^\circ$**. Если бы $40^\circ$ был внешним углом, то $A$ был бы $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$, что сделало бы сумму углов $A$ и $C$ больше $180^\circ$. Поэтому $40^\circ$ — это внутренний угол $A$. Итак, если $\angle A = 40^\circ$ и $\angle C = 105^\circ$, то: $$ \angle B = 180^\circ - 40^\circ - 105^\circ = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ $$ **Ответ: $\angle B = 35^\circ$** 7. Посмотри на чёрточки на сторонах $AB$ и $BC$. Они показывают, что стороны $AB$ и $BC$ равны. Значит, треугольник $ABC$ равнобедренный! В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В этом случае основание $AC$, а углы при нём $\angle A$ и $\angle C$ равны. Нам дан $\angle C = 70^\circ$. Значит, $\angle A = 70^\circ$. Теперь найдём угол $B$: $$ \angle B = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 40^\circ$** 8. Снова равнобедренный треугольник, потому что стороны $AB$ и $BC$ равны (по чёрточкам). Угол $B$ нам дан и равен $50^\circ$. Углы при основании $AC$, то есть $\angle A$ и $\angle C$, равны. Сумма углов $A$ и $C$ будет $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Так как они равны, каждый из них будет: $$ \angle A = \angle C = 130^\circ \div 2 = 65^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 65^\circ$, $\angle C = 65^\circ$** 9. Треугольник $ABC$ равнобедренный, потому что $AB = BC$. Значит, $\angle A = \angle C$. Нам дан внешний угол при вершине $C$, который равен $125^\circ$. Сначала найдём внутренний угол $C$: $$ \angle C = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ $$ Так как $\angle A = \angle C$, то $\angle A = 55^\circ$. Теперь найдём угол $B$: $$ \angle B = 180^\circ - 55^\circ - 55^\circ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 55^\circ$, $\angle B = 70^\circ$, $\angle C = 55^\circ$** 10. Треугольник $ABC$ равнобедренный, потому что $AB = BC$. Значит, $\angle A = \angle C$. Нам дан внешний угол при вершине $B$, который равен $140^\circ$. Сначала найдём внутренний угол $B$: $$ \angle B = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ $$ Теперь, зная угол $B$, найдём сумму углов $A$ и $C$: $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. Так как $\angle A = \angle C$, то каждый из них будет: $$ \angle A = \angle C = 140^\circ \div 2 = 70^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 40^\circ$, $\angle C = 70^\circ$** 11. Нам дано, что $AB || CD$ (прямые $AB$ и $CD$ параллельны). У нас есть треугольник $ABC$. Мы видим два угла: $\angle BCD = 60^\circ$ и $\angle ACD = 50^\circ$. Значит, полный угол $C$ в треугольнике $ABC$ это $50^\circ + 60^\circ = 110^\circ$. Поскольку $AB || CD$ и $AC$ — это секущая, то углы $\angle BAC$ (или $\angle A$) и $\angle ACD$ являются накрест лежащими. А накрест лежащие углы при параллельных прямых равны! Значит: $$ \angle A = \angle ACD = 50^\circ $$ Теперь, зная углы $A$ и $C$, найдём угол $B$: $$ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 110^\circ = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 20^\circ$, $\angle C = 110^\circ$** 12. В треугольнике $ABC$ проведена линия $BD$. Чёрточки показывают, что $AD = BD = CD$. Это очень интересная ситуация! Если $AD = BD$, то треугольник $ABD$ равнобедренный. Значит, углы при основании $AB$ равны: $\angle ABD = \angle BAD$. Нам дан $\angle BAD = 30^\circ$, значит, $\angle ABD = 30^\circ$. Если $BD = CD$, то треугольник $BDC$ равнобедренный. Значит, углы при основании $BC$ равны: $\angle CBD = \angle BCD$. Теперь давай найдём угол $\angle ADB$ в треугольнике $ABD$: $$ \angle ADB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $$ Углы $\angle ADB$ и $\angle BDC$ — смежные, поэтому их сумма $180^\circ$: $$ \angle BDC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $$ Так как треугольник $BDC$ равнобедренный ($BD = CD$), то $\angle CBD = \angle BCD$. Сумма этих двух углов равна $180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Значит: $$ \angle CBD = \angle BCD = 120^\circ \div 2 = 60^\circ $$ Теперь соберём все углы большого треугольника $ABC$: $\angle A = \angle BAD = 30^\circ$ $\angle C = \angle BCD = 60^\circ$ $\angle B = \angle ABD + \angle CBD = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$ Проверим сумму: $30^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Всё верно! **Ответ: $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 60^\circ$**