Вычислить: cos(-\pi/6)sin(-\pi/3) + tg(-\pi/4);

Привет! Давай вместе посчитаем эти интересные примеры по тригонометрии. Не волнуйся, всё совсем не сложно, если знать основные формулы и значения углов. Поехали! Прежде чем начнём, давай вспомним несколько важных правил: 1. $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ 2. $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ 3. $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ 4. $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$ 5. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ Также нам понадобятся значения для некоторых углов: * $\frac{\pi}{6}$ (это 30 градусов): * $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ * $\frac{\pi}{4}$ (это 45 градусов): * $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ * $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ * $\frac{\pi}{3}$ (это 60 градусов): * $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ * $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ * $\frac{\pi}{2}$ (это 90 градусов): * $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ * $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ * $\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$ * $\pi$ (это 180 градусов): * $\cos(\pi) = -1$ * $\sin(\pi) = 0$ * $\text{tg}(\pi) = 0$ * $\frac{3\pi}{2}$ (это 270 градусов): * $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ * $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ * $\text{ctg}(\frac{3\pi}{2}) = 0$ Теперь давай решим каждый пример по очереди: 1) $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ Сначала упростим выражения, используя правила для отрицательных углов: * $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ * $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$ * $\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ Подставим значения: $\cos\left(\frac{\pi}{6} ight) \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 1$ $= -\frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{7}{4}$ **Ответ: $-\frac{7}{4}$** 2) $\frac{1 + \text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{1 + \text{ctg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}$ Вспомним формулы: $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ и $1 + \text{ctg}^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$. Также $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ и $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$, но поскольку они возводятся в квадрат, то $\text{tg}^2(-\alpha) = \text{tg}^2(\alpha)$ и $\text{ctg}^2(-\alpha) = \text{ctg}^2(\alpha)$. Значит, наше выражение можно переписать так: $\frac{\frac{1}{\cos^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}}{\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}} = \frac{\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}}{\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}} = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)} \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$ Теперь найдём $\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{6} ight)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Тогда $\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$. **Ответ: $\frac{1}{3}$** 3) $2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ Упростим выражения: * $2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 2\left(-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$ (использовали формулу $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$) * $\text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)$ * $\sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left(-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^2 = \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$ Подставим значения: $-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$ $= -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{4} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}$ **Ответ: $\frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}$** 4) $\cos(-\pi) + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ Упростим выражения: * $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$ * $\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0 = 0$ * $\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1$ * $\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$ Подставим значения: $-1 + 0 - 1 + (-1) = -1 - 1 - 1 = -3$ **Ответ: $-3$** 5) $\frac{3 - \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$ Сначала упростим числитель: $3 - \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 3 - \left(\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$ Мы знаем, что $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, поэтому: $3 - 1 = 2$ Теперь упростим знаменатель: $2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ **Ответ: $\sqrt{2}$** 6) $2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 3 + 7.5\text{tg}(-\pi) + \frac{1}{8}\cos\frac{3}{2}\pi$ Упростим выражения: * $2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 2\left(-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ * $\text{tg}(-\pi) = -\text{tg}(\pi) = -0 = 0$ * $\cos\frac{3}{2}\pi = 0$ Подставим значения: $-1 + 3 + 7.5 \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0 = -1 + 3 + 0 + 0 = 2$ **Ответ: $2$** Надеюсь, всё было понятно! Если есть ещё вопросы, смело задавай!