Вычислите $5^{-7} \cdot 5^{-5}$

Привет! Давай вместе посчитаем эти примеры с степенями. Это не так сложно, как кажется, главное помнить правила! **а) $5^{-7} \cdot 5^{-5}$** Когда мы умножаем числа с одинаковым основанием (у нас это 5), то степени складываются. То есть $-7 + (-5)$. $$5^{-7} \cdot 5^{-5} = 5^{(-7) + (-5)} = 5^{-12}$$ А теперь вспомним, что отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть и степень станет положительной: $$5^{-12} = \frac{1}{5^{12}}$$ **Ответ: $\frac{1}{5^{12}}$** **б) $10^9 : 10^6$** Когда мы делим числа с одинаковым основанием (это 10), то степени вычитаются. То есть $9 - 6$. $$10^9 : 10^6 = 10^{9-6} = 10^3$$ А $10^3$ — это 10, умноженное на себя 3 раза: $$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$$ **Ответ: 1000** **в) $(0,1^2)^{-2}$** Здесь у нас степень в степени. В таком случае степени перемножаются. То есть $2 \cdot (-2)$. $$(0,1^2)^{-2} = 0,1^{2 \cdot (-2)} = 0,1^{-4}$$ Отрицательная степень, как мы уже знаем, означает, что число нужно перевернуть. $0,1$ это $\frac{1}{10}$. Если мы его перевернём, получим 10. $$(0,1)^{-4} = (\frac{1}{10})^{-4} = 10^4$$ А $10^4$ — это 10, умноженное на себя 4 раза: $$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$$ **Ответ: 10000** **г) $1,6^3 \cdot (\frac{1}{8})^3$** Здесь у нас разные основания, но одинаковые степени. Значит, мы можем сначала перемножить основания, а потом возвести результат в степень. То есть $(1,6 \cdot \frac{1}{8})^3$. $$1,6^3 \cdot (\frac{1}{8})^3 = (1,6 \cdot \frac{1}{8})^3$$ Переведём 1,6 в обыкновенную дробь: $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$. Теперь подставим это в выражение: $$(\frac{8}{5} \cdot \frac{1}{8})^3$$ Восьмёрки сокращаются: $$(\frac{1}{5})^3$$ Теперь возведём в степень: $$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1}{125}$$ **Ответ: $\frac{1}{125}$** **д) $\frac{2,8^5}{1,4^5}$** Здесь у нас опять разные основания, но одинаковые степени. Значит, мы можем сначала разделить основания, а потом возвести результат в степень. То есть $(\frac{2,8}{1,4})^5$. $$\frac{2,8^5}{1,4^5} = (\frac{2,8}{1,4})^5$$ Разделим 2,8 на 1,4: $$2,8 : 1,4 = 2$$ Теперь возведём 2 в степень 5: $$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$$ **Ответ: 32** **е) $16 \cdot 2^{-6}$** Нам нужно, чтобы у чисел было одинаковое основание. Мы знаем, что $16 = 2^4$. Заменим 16 на $2^4$. $$16 \cdot 2^{-6} = 2^4 \cdot 2^{-6}$$ Теперь у нас умножение чисел с одинаковым основанием, значит, степени складываются: $$2^4 \cdot 2^{-6} = 2^{4 + (-6)} = 2^{4 - 6} = 2^{-2}$$ Отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть: $$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$$ **Ответ: $\frac{1}{4}$** **ж) $6^{-17} : (36^{-4})^2$** Сначала разберёмся со скобкой $(36^{-4})^2$. Степень в степени, значит, степени перемножаются: $$(36^{-4})^2 = 36^{-4 \cdot 2} = 36^{-8}$$ Теперь наше выражение выглядит так: $6^{-17} : 36^{-8}$. Чтобы делить, нам нужно одинаковое основание. Мы знаем, что $36 = 6^2$. Заменим 36 на $6^2$. $$6^{-17} : (6^2)^{-8}$$ Снова степень в степени, перемножаем: $$(6^2)^{-8} = 6^{2 \cdot (-8)} = 6^{-16}$$ Теперь наше выражение выглядит так: $6^{-17} : 6^{-16}$. При делении чисел с одинаковым основанием степени вычитаются: $$6^{-17} : 6^{-16} = 6^{(-17) - (-16)} = 6^{-17 + 16} = 6^{-1}$$ Отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть: $$6^{-1} = \frac{1}{6}$$ **Ответ: $\frac{1}{6}$** **з) $\frac{7^{-3} \cdot 49^{-4}}{7^{-9}}$** Сначала заметим, что $49 = 7^2$. Заменим 49 на $7^2$. $$\frac{7^{-3} \cdot (7^2)^{-4}}{7^{-9}}$$ В числителе $(7^2)^{-4}$ — это степень в степени, перемножаем: $$(7^2)^{-4} = 7^{2 \cdot (-4)} = 7^{-8}$$ Теперь числитель выглядит так: $7^{-3} \cdot 7^{-8}$. При умножении степени складываются: $$7^{-3} \cdot 7^{-8} = 7^{(-3) + (-8)} = 7^{-11}$$ Теперь всё выражение выглядит так: $\frac{7^{-11}}{7^{-9}}$. При делении чисел с одинаковым основанием степени вычитаются: $$\frac{7^{-11}}{7^{-9}} = 7^{(-11) - (-9)} = 7^{-11 + 9} = 7^{-2}$$ Отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть: $$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$$ **Ответ: $\frac{1}{49}$**