Реши уравнение $x + \sqrt{2x + 3} = 6$

Привет! Давай вместе решим это уравнение. У нас есть уравнение с корнем: $$x + \sqrt{2x + 3} = 6$$ Чтобы избавиться от корня, нужно его "одного" оставить на одной стороне уравнения, а всё остальное перенести на другую сторону. Давай перенесём $x$ в правую часть, тогда он изменит свой знак на минус: $$\sqrt{2x + 3} = 6 - x$$ Теперь, чтобы избавиться от квадратного корня, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат. Но помни, что при этом может появиться "лишний" ответ, который не подходит к исходному уравнению. Поэтому в конце обязательно нужно будет сделать проверку! Возводим обе части в квадрат: $$(\sqrt{2x + 3})^2 = (6 - x)^2$$ $$2x + 3 = 36 - 12x + x^2$$ Теперь давай перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить обычное квадратное уравнение. Перенесём $2x$ и $3$ в правую часть, меняя их знаки: $$0 = x^2 - 12x - 2x + 36 - 3$$ $$0 = x^2 - 14x + 33$$ Мы получили квадратное уравнение $x^2 - 14x + 33 = 0$. Его можно решить с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, а для корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. В нашем уравнении $a=1$, $b=-14$, $c=33$. Вычисляем дискриминант: $$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33$$ $$D = 196 - 132$$ $$D = 64$$ Теперь найдём корни: $$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11$$ $$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Отлично, у нас получилось два возможных корня: $x=11$ и $x=3$. Теперь самое главное — нужно обязательно проверить, подходят ли они к исходному уравнению. Помнишь, я говорил, что при возведении в квадрат могут появиться лишние корни? И ещё, под корнем не может быть отрицательного числа. **Проверка:** 1. **Проверяем $x=11$**: Подставляем $11$ в исходное уравнение $x + \sqrt{2x + 3} = 6$: $$11 + \sqrt{2 \cdot 11 + 3} = 6$$ $$11 + \sqrt{22 + 3} = 6$$ $$11 + \sqrt{25} = 6$$ $$11 + 5 = 6$$ $$16 = 6$$ Это неверно! Значит, $x=11$ — это "лишний" корень, он не подходит. 2. **Проверяем $x=3$**: Подставляем $3$ в исходное уравнение $x + \sqrt{2x + 3} = 6$: $$3 + \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = 6$$ $$3 + \sqrt{6 + 3} = 6$$ $$3 + \sqrt{9} = 6$$ $$3 + 3 = 6$$ $$6 = 6$$ Это верно! Значит, $x=3$ — это наш правильный ответ. **Ответ:** $\mathbf{x=3}$