Определи вид высказывания, найди истинные высказывания и докажи их, для ложных приведи контрпример и построй отрицание для пункта 1.

Привет! Давай разберёмся с высказываниями. ### 1) Каждое натуральное число делится на себя и на 1. * **Вид высказывания:** Общее. * **Истинность:** Истинное. Это одно из основных свойств натуральных чисел. Любое натуральное число $N$ можно поделить на себя ($N/N=1$) и на 1 ($N/1=N$). * **Отрицание:** Существует натуральное число, которое не делится на себя или не делится на 1. ### 2) Некоторые числа имеют только один делитель. * **Вид высказывания:** Частное. * **Истинность:** Истинное. Например, число 1 имеет только один делитель — само себя (1). * **Отрицание:** Все числа имеют более одного делителя (или ни одно число не имеет только один делитель). ### 3) Любое натуральное число имеет хотя бы два делителя. * **Вид высказывания:** Общее. * **Истинность:** Ложное. * **Контрпример:** Число 1. У него только один делитель — 1. * **Отрицание:** Существует натуральное число, которое имеет меньше двух делителей (то есть один делитель). ### 4) Простое число всегда меньше составного. * **Вид высказывания:** Общее. * **Истинность:** Ложное. * **Контрпример:** Простое число 7 больше составного числа 6. Или простое число 11 больше составного числа 4. * **Отрицание:** Существует простое число, которое не меньше составного (то есть больше или равно составного). ### 5) Взаимно простые числа сами являются простыми. * **Вид высказывания:** Общее. * **Истинность:** Ложное. * **Контрпример:** Числа 4 и 9. Они взаимно простые (их наибольший общий делитель равен 1), но ни 4, ни 9 не являются простыми (4 делится на 2, 9 делится на 3). * **Отрицание:** Существуют взаимно простые числа, которые не являются простыми (то есть являются составными). ### 6) Числа 12 и 15 – взаимно простые. * **Вид высказывания:** Единичное. * **Истинность:** Ложное. * **Доказательство:** Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. У них есть общий делитель 3, который больше 1. Значит, они не взаимно простые. * **Отрицание:** Числа 12 и 15 не являются взаимно простыми. ### 7) Делитель числа всегда меньше самого числа. * **Вид высказывания:** Общее. * **Истинность:** Ложное. * **Контрпример:** Делитель любого числа – само это число (например, для числа 5 делитель 5). А ещё делитель 1 (для числа 5 делитель 1). Они не меньше самого числа, а равны ему. * **Отрицание:** Существует делитель числа, который не меньше самого числа (то есть больше или равен ему). ### 8) Кратное числа больше самого числа. * **Вид высказывания:** Общее. * **Истинность:** Ложное. * **Контрпример:** Если число $N$ — это 5, то одно из его кратных — $5 \times 1 = 5$. Число 5 не больше 5, оно равно 5. * **Отрицание:** Существует кратное числа, которое не больше самого числа (то есть меньше или равно ему). ### 9) Число, кратное 9, может не оканчиваться на 9. * **Вид высказывания:** Частное. * **Истинность:** Истинное. * **Доказательство:** Например, число 18 кратно 9 ($18 = 9 \times 2$), но оно оканчивается на 8, а не на 9. Число 27 кратно 9 и оканчивается на 7. Число 90 кратно 9 и оканчивается на 0. * **Отрицание:** Все числа, кратные 9, оканчиваются на 9. ### 10) Число, кратное 9, может быть представлено в виде $9n$, где $n \in N$. * **Вид высказывания:** Общее. * **Истинность:** Истинное. Это определение числа, кратного 9. По определению, число кратно 9, если оно делится на 9 без остатка, то есть может быть записано как произведение 9 и любого натурального числа $n$. * **Отрицание:** Существует число, кратное 9, которое нельзя представить в виде $9n$, где $n \in N$.