Упрости выражения и приведи многочлены к стандартному виду

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. Нужно упростить выражения и привести их к стандартному виду. ### Задание 3. Упростите выражение: 1) $$20a^3 \cdot (5a^2)$$ Чтобы умножить эти одночлены, мы сначала умножаем числа: $20 \cdot 5 = 100$. Затем умножаем степени с одинаковыми основаниями: $a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$. **Ответ:** $$100a^5$$ 2) $$(-0.4x^2y^4) \cdot (2x^3y)$$ Сначала умножаем числа: $-0.4 \cdot 2 = -0.8$. Затем умножаем степени с одинаковыми основаниями: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$ и $y^4 \cdot y^1 = y^{4+1} = y^5$. **Ответ:** $$-0.8x^5y^5$$ 3) $$(-c^3)^2 \cdot (-12c^6)$$ Сначала возведём в квадрат $ (-c^3)^2 $: минус в квадрате даёт плюс, а степени перемножаются: $(c^3)^2 = c^{3 \cdot 2} = c^6$. Получаем $c^6 \cdot (-12c^6)$. Теперь умножаем: $1 \cdot (-12) = -12$, и $c^6 \cdot c^6 = c^{6+6} = c^{12}$. **Ответ:** $$-12c^{12}$$ 4) $$(3x^3y^4)^3 \cdot (\frac{1}{81}x^4)$$ Сначала возведём первый одночлен в куб: $ (3x^3y^4)^3 = 3^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^4)^3 = 27x^{3 \cdot 3}y^{4 \cdot 3} = 27x^9y^{12} $. Теперь умножаем на второй одночлен: $27x^9y^{12} \cdot \frac{1}{81}x^4$. Умножаем числа: $27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$. Умножаем степени икс: $x^9 \cdot x^4 = x^{9+4} = x^{13}$. Степень игрек остаётся $y^{12}$. **Ответ:** $$\frac{1}{3}x^{13}y^{12}$$ 5) $$(-1.8a^2b^3) \cdot (-\frac{2}{3}ab^3)$$ Умножаем числа: $-1.8 \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{-18}{10} \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{-9}{5} \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} = 1.2$. Умножаем степени: $a^2 \cdot a^1 = a^{2+1} = a^3$ и $b^3 \cdot b^3 = b^{3+3} = b^6$. **Ответ:** $$1.2a^3b^6$$ ### Задание 4. Представьте в виде одночлена стандартного вида: 1) $$(4ac^2)^3 \cdot (0.5a^2c)$$ Возводим в куб первый одночлен: $ (4ac^2)^3 = 4^3a^3(c^2)^3 = 64a^3c^6 $. Теперь умножаем на второй: $ 64a^3c^6 \cdot 0.5a^2c $. Умножаем числа: $64 \cdot 0.5 = 32$. Умножаем степени: $a^3 \cdot a^2 = a^5$ и $c^6 \cdot c^1 = c^7$. **Ответ:** $$32a^5c^7$$ 2) $$(-\frac{2}{3}x^2y^3)^2 \cdot (\frac{3}{2}xy^3)$$ Возводим в квадрат первый одночлен: $ (-\frac{2}{3}x^2y^3)^2 = (\frac{-2}{3})^2(x^2)^2(y^3)^2 = \frac{4}{9}x^4y^6 $. Теперь умножаем на второй: $ \frac{4}{9}x^4y^6 \cdot \frac{3}{2}xy^3 $. Умножаем числа: $ \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $. Умножаем степени: $x^4 \cdot x^1 = x^5$ и $y^6 \cdot y^3 = y^9$. **Ответ:** $$\frac{2}{3}x^5y^9$$ 3) $$(-x^2y^4) \cdot (6x^3y^2)^2$$ Возводим в квадрат второй одночлен: $ (6x^3y^2)^2 = 6^2(x^3)^2(y^2)^2 = 36x^6y^4 $. Теперь умножаем на первый: $ -x^2y^4 \cdot 36x^6y^4 $. Умножаем числа: $-1 \cdot 36 = -36$. Умножаем степени: $x^2 \cdot x^6 = x^8$ и $y^4 \cdot y^4 = y^8$. **Ответ:** $$-36x^8y^8$$ 4) $$(-10a^3b^2c^5) \cdot (-0.2ab^3)$$ Умножаем числа: $-10 \cdot (-0.2) = 2$. Умножаем степени: $a^3 \cdot a^1 = a^4$, $b^2 \cdot b^3 = b^5$. Переменная $c^5$ остаётся без изменений. **Ответ:** $$2a^4b^5c^5$$ ### Задание 5. Приведите многочлен к стандартному виду: 1) $$x^2y \cdot x \cdot y + y \cdot x^2y$$ Сначала упростим каждое слагаемое. Первое: $x^2y \cdot x \cdot y = x^{2+1}y^{1+1} = x^3y^2$. Второе: $y \cdot x^2y = x^2y^{1+1} = x^2y^2$. Так как полученные слагаемые имеют разные буквы в разных степенях, они не являются подобными и их нельзя сложить. **Ответ:** $$x^3y^2 + x^2y^2$$ 2) $$3x \cdot 6y^2 - 5x^2y^3 - 7y$$ Упрощаем первое слагаемое: $3x \cdot 6y^2 = 18xy^2$. Остальные слагаемые уже в стандартном виде. Все слагаемые имеют разные буквенные части, поэтому они не являются подобными. **Ответ:** $$18xy^2 - 5x^2y^3 - 7y$$ 3) $$2a \cdot a^2 - 3b + a - 8c$$ Упрощаем первое слагаемое: $2a \cdot a^2 = 2a^{1+2} = 2a^3$. Все слагаемые имеют разные буквенные части, поэтому они не являются подобными. **Ответ:** $$2a^3 - 3b + a - 8c$$ 4) $$8x \cdot 3y \cdot (-5y) - 7x^2 \cdot (-4y^2)$$ Упрощаем первое слагаемое: $8x \cdot 3y \cdot (-5y) = (8 \cdot 3 \cdot -5) \cdot x \cdot y \cdot y = -120xy^2$. Упрощаем второе слагаемое: $-7x^2 \cdot (-4y^2) = (-7 \cdot -4) \cdot x^2 \cdot y^2 = 28x^2y^2$. Слагаемые имеют разные буквенные части, поэтому они не являются подобными. **Ответ:** $$-120xy^2 + 28x^2y^2$$ 5) $$11a^3 - 8a^2 + 3a^3 + a^2$$ Находим подобные слагаемые. Это $11a^3$ и $3a^3$ (складываем их: $11+3 = 14$, получаем $14a^3$). И $-8a^2$ и $a^2$ (складываем их: $-8+1 = -7$, получаем $-7a^2$). **Ответ:** $$14a^3 - 7a^2$$ 6) $$1.9x^2 - 2.9x^2 - x^2$$ Все слагаемые подобные, потому что у них одинаковая буквенная часть $x^2$. Складываем коэффициенты: $1.9 - 2.9 - 1$. $1.9 - 2.9 = -1$. $-1 - 1 = -2$. **Ответ:** $$-2x^2$$ 7) $$20xy + 5yx - 17xy$$ Все слагаемые подобные, потому что у них одинаковая буквенная часть $xy$ (помни, что $yx$ это то же самое, что $xy$). Складываем коэффициенты: $20 + 5 - 17$. $20 + 5 = 25$. $25 - 17 = 8$. **Ответ:** $$8xy$$ 8) $$8ab^3 - 3ab^2 + ab^2 - 7ab^3$$ Находим подобные слагаемые. Это $8ab^3$ и $-7ab^3$ (складываем их: $8-7 = 1$, получаем $ab^3$). И $-3ab^2$ и $ab^2$ (складываем их: $-3+1 = -2$, получаем $-2ab^2$). **Ответ:** $$ab^3 - 2ab^2$$