Упрости выражение $(x-3)(x-7) - 2x(3x-5)$

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. ### 1. Упростите выражение: **а) $(x-3)(x-7) - 2x(3x-5)$** Сначала раскроем скобки. Помни, что когда ты умножаешь одну скобку на другую, нужно каждый член первой скобки умножить на каждый член второй. А потом $-2x$ умножим на каждый член второй скобки. $(x-3)(x-7) - 2x(3x-5) = (x \cdot x - x \cdot 7 - 3 \cdot x + 3 \cdot 7) - (2x \cdot 3x - 2x \cdot 5)$ $= (x^2 - 7x - 3x + 21) - (6x^2 - 10x)$ Теперь раскроем вторую скобку. Поскольку перед ней стоит знак минус, все знаки внутри скобки поменяются на противоположные. $= x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x$ Теперь приведём подобные слагаемые – это те, у которых одинаковые буквы в одинаковых степенях. $(x^2 - 6x^2) + (-7x - 3x + 10x) + 21$ $= -5x^2 + 0x + 21$ $= -5x^2 + 21$ **Ответ: $-5x^2 + 21$** **б) $4a(a-2) - (a-4)^2$** Сначала раскроем скобки. В первом случае $4a$ умножаем на каждый член в скобках. Во втором случае у нас формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $4a(a-2) - (a-4)^2 = (4a \cdot a - 4a \cdot 2) - (a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2)$ $= (4a^2 - 8a) - (a^2 - 8a + 16)$ Теперь раскроем вторую скобку. Так как перед ней минус, знаки внутри меняем на противоположные. $= 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16$ Приведём подобные слагаемые: $(4a^2 - a^2) + (-8a + 8a) - 16$ $= 3a^2 + 0a - 16$ $= 3a^2 - 16$ **Ответ: $3a^2 - 16$** **в) $2(m+1)^2 - 4m$** Здесь тоже сначала используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. $2(m+1)^2 - 4m = 2(m^2 + 2 \cdot m \cdot 1 + 1^2) - 4m$ $= 2(m^2 + 2m + 1) - 4m$ Теперь умножим 2 на каждый член в скобках: $= 2m^2 + 4m + 2 - 4m$ Приведём подобные слагаемые: $2m^2 + (4m - 4m) + 2$ $= 2m^2 + 0m + 2$ $= 2m^2 + 2$ **Ответ: $2m^2 + 2$** ### 2. Разложите на множители: **а) $x^3 - 9x$** Чтобы разложить на множители, нужно найти общий множитель и вынести его за скобки. Здесь общий множитель $x$. $x^3 - 9x = x(x^2 - 9)$ Теперь внутри скобок мы видим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Здесь $a = x$, а $b = 3$ (потому что $3^2 = 9$). $= x(x-3)(x+3)$ **Ответ: $x(x-3)(x+3)$** **б) $-5a^2 - 10ab - 5b^2$** Сначала вынесем общий множитель. Здесь это $-5$. $-5a^2 - 10ab - 5b^2 = -5(a^2 + 2ab + b^2)$ В скобках мы получили формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. $= -5(a+b)^2$ **Ответ: $-5(a+b)^2$** ### 3. Упростите выражение: $(y^2 - 2y)^2 - y^2(y+3)(y-3) + 2y(2y^2+5)$ Давай разбирать по частям: 1. **$(y^2 - 2y)^2$**: Это квадрат разности. $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $(y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 2y + (2y)^2 = y^4 - 4y^3 + 4y^2$ 2. **$-y^2(y+3)(y-3)$**: Сначала $(y+3)(y-3)$ - это разность квадратов $y^2 - 3^2 = y^2 - 9$. Теперь умножим на $-y^2$: $-y^2(y^2 - 9) = -y^4 + 9y^2$ 3. **$+2y(2y^2+5)$**: Умножим $2y$ на каждый член в скобках. $2y \cdot 2y^2 + 2y \cdot 5 = 4y^3 + 10y$ Теперь соберём всё вместе: $(y^4 - 4y^3 + 4y^2) + (-y^4 + 9y^2) + (4y^3 + 10y)$ Раскроем все скобки и приведём подобные слагаемые: $y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y$ Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $y$: $(y^4 - y^4) + (-4y^3 + 4y^3) + (4y^2 + 9y^2) + 10y$ $= 0 + 0 + 13y^2 + 10y$ $= 13y^2 + 10y$ **Ответ: $13y^2 + 10y$** ### 4. Разложите на множители: **а) $16x^4 - 81$** Это выражение похоже на разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Здесь $a = 4x^2$ (потому что $(4x^2)^2 = 16x^4$) и $b = 9$ (потому что $9^2 = 81$). $16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9)$ Мы можем ещё раз применить формулу разности квадратов к первой скобке $(4x^2 - 9)$. Здесь $a = 2x$ (потому что $(2x)^2 = 4x^2$) и $b = 3$ (потому что $3^2 = 9$). $= (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)$ **Ответ: $(2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)$** **б) $x^2 - x - y^2 - y$** Давай попробуем сгруппировать члены, чтобы найти общие множители. Можно сгруппировать $x^2 - y^2$ и $-x - y$. $(x^2 - y^2) - (x + y)$ Первая часть $(x^2 - y^2)$ — это разность квадратов: $(x-y)(x+y)$. $= (x-y)(x+y) - (x+y)$ Теперь у нас есть общий множитель $(x+y)$. Вынесем его за скобки. $= (x+y)((x-y) - 1)$ $= (x+y)(x-y-1)$ **Ответ: $(x+y)(x-y-1)$** ### 5. Докажите, что выражение $x^2 - 4x + 9$ при любых значениях $x$ принимает положительные значения. Чтобы доказать это, мы можем попробовать выделить полный квадрат. Вспомни формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. У нас есть $x^2 - 4x + 9$. Часть $x^2 - 4x$ похожа на $a^2 - 2ab$. Если $a = x$, то $2ab = 2 \cdot x \cdot b = 4x$. Значит, $2b = 4$, и $b = 2$. Тогда полный квадрат будет $(x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$. Теперь вернёмся к нашему выражению: $x^2 - 4x + 9$. Мы можем записать его так: $x^2 - 4x + 4 + 5$ Теперь мы видим, что $x^2 - 4x + 4$ — это $(x-2)^2$. Значит, наше выражение равно $(x-2)^2 + 5$. Мы знаем, что любое число в квадрате (например, $(x-2)^2$) всегда будет либо положительным, либо равным нулю. Оно никогда не может быть отрицательным. То есть, $(x-2)^2 \ge 0$ для любых значений $x$. Если мы прибавим к этому числу 5, то получим: $(x-2)^2 + 5 \ge 0 + 5$. $(x-2)^2 + 5 \ge 5$. Это означает, что значение выражения $(x-2)^2 + 5$ всегда будет больше или равно 5. А 5 — это положительное число. Таким образом, выражение $x^2 - 4x + 9$ при любых значениях $x$ принимает положительные значения. **Доказано.**