Найди разность комплексных чисел в алгебраической форме $\frac{1}{2-i} - \frac{1}{2+i}$

Question

Вопрос:

Найди разность комплексных чисел в алгебраической форме $\frac{1}{2-i} - \frac{1}{2+i}$

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай вместе найдём разность этих дробей. Это совсем несложно, если знать пару приёмов с комплексными числами. Первым делом, чтобы вычесть дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Смотри, знаменатели тут очень похожи: $2-i$ и $2+i$. Это же формула разности квадратов! Если перемножить эти два числа, получится $2^2 - i^2$. А мы знаем, что $i^2 = -1$. Значит, $2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$. Это и будет наш общий знаменатель. Теперь давай каждую дробь домножим на то, чего ей не хватает в знаменателе: 1. Для первой дроби $\frac{1}{2-i}$, мы домножаем и числитель, и знаменатель на $2+i$:$$\frac{1}{2-i} \cdot \frac{2+i}{2+i} = \frac{2+i}{(2-i)(2+i)} = \frac{2+i}{4-i^2} = \frac{2+i}{4-(-1)} = \frac{2+i}{5}$$ 2. Для второй дроби $\frac{1}{2+i}$, мы домножаем и числитель, и знаменатель на $2-i$:$$\frac{1}{2+i} \cdot \frac{2-i}{2-i} = \frac{2-i}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i}{4-i^2} = \frac{2-i}{4-(-1)} = \frac{2-i}{5}$$ Теперь, когда дроби имеют одинаковые знаменатели, мы можем их вычесть: $$\frac{2+i}{5} - \frac{2-i}{5} = \frac{(2+i) - (2-i)}{5}$$ Будь внимателен со знаками, когда раскрываешь скобки после минуса: $$\frac{2+i - 2 + i}{5} = \frac{0 + 2i}{5} = \frac{2i}{5}$$ Это можно записать ещё как $0 + \frac{2}{5}i$. Так как у нас нет действительной части (она равна нулю), то остаётся только мнимая часть. **Ответ:** $\frac{2}{5}i$

Найди разность комплексных чисел в алгебраической форме $\frac{1}{2-i} - \frac{1}{2+i}$

Ответ ассистента

Другие решения