Уравнение нормали к поверхности $$z = x^2 + 2y^3$$ в точке $$P(1,1)$$ имеет вид

Привет! Давай вместе найдем уравнение нормали к поверхности. Это не так сложно, как кажется! **1. Находим частные производные.** Сначала нам нужно узнать, как быстро меняется наша поверхность в каждом направлении. Для этого мы найдем частные производные по $x$ и по $y$. $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y^3) = 2x$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2y^3) = 6y^2$$ **2. Вычисляем значения производных в точке P(1,1).** Теперь подставим координаты точки $P(1,1)$ в наши производные, чтобы узнать конкретные значения в этой точке. $$\frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = 2 \cdot 1 = 2$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = 6 \cdot 1^2 = 6$$ **3. Записываем уравнение нормали.** Уравнение нормали к поверхности имеет общий вид: $$\frac{x - x_0}{\frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{\frac{\partial z}{\partial y}(x_0, y_0)} = \frac{z - z_0}{-1}$$ где $$(x_0, y_0)$$ — это координаты нашей точки, то есть $$(1,1)$$. А $$z_0$$ — это значение функции в этой точке. Давай его найдем: $$z_0 = 1^2 + 2 \cdot 1^3 = 1 + 2 = 3$$ Теперь подставляем все найденные значения в формулу: $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{6} = \frac{z - 3}{-1}$$ Вот и всё! Мы нашли уравнение нормали. **Ответ:** Уравнение нормали к поверхности $$z = x^2 + 2y^3$$ в точке $$P(1,1)$$ имеет вид $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{6} = \frac{z - 3}{-1}$$