Вычисли интеграл: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(x - \frac{\pi}{4}) dx$$

Привет! Давай вместе вычислим этот интеграл. Это не так сложно, как кажется. Первым делом, нужно найти "первообразную" функции $\cos(x - \frac{\pi}{4})$. Это такая функция, производная от которой равна $\cos(x - \frac{\pi}{4})$. Мы знаем, что производная от $\sin(u)$ равна $\cos(u)$. В нашем случае $u = x - \frac{\pi}{4}$. Значит, первообразная будет $\sin(x - \frac{\pi}{4})$. Теперь нам нужно подставить пределы интегрирования (это такие числа, которые стоят сверху и снизу знака интеграла): $\frac{\pi}{2}$ (верхний предел) и $0$ (нижний предел). Сначала подставляем верхний предел, потом вычитаем результат подстановки нижнего предела: $$\left[ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(0 - \frac{\pi}{4}\right)$$ Давай посчитаем, что получается в скобках: $$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$ $$0 - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$$ Теперь подставляем эти значения в $\sin$: $$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$ Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4})$ (это синус 45 градусов) равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. И ещё одно важное свойство: $\sin(-u) = -\sin(u)$. Значит, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем эти значения обратно: $$\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ **Ответ:** $\sqrt{2}$