Найди $AD$ в четырёхугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, если прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $L$, $BL = 7$, $DL = 21$, $BC = 4$.

Привет! Давай разберемся с этой геометрической задачкой. У нас есть четырёхугольник $ABCD$, который вписан в окружность. Это значит, что он — вписанный четырёхугольник. У таких четырёхугольников есть одно очень интересное свойство: если продолжить две стороны (как у нас $AB$ и $CD$), и они пересекутся в точке $L$, то треугольники $\triangle LBC$ и $\triangle LDA$ будут подобны. Почему они подобны? Потому что у них есть общие углы и углы, которые опираются на одну дугу. Например, угол $L$ у них общий, а углы $\angle LCB$ и $\angle LAD$ равны, потому что они опираются на одну дугу $BD$. (У вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусам, а внешний угол равен внутреннему противоположному, так что $\angle LCB = \angle A$ в четырехугольнике, а $\angle LAD$ — это тот же угол $A$). Из подобия треугольников $\triangle LBC \sim \triangle LDA$ следует, что отношения их сторон равны: $$\frac{LB}{LD} = \frac{LC}{LA} = \frac{BC}{AD}$$ Мы знаем несколько значений: $BL = 7$ $DL = 21$ $BC = 4$ Нам нужно найти $AD$. Возьмем ту часть соотношения, где есть известные и неизвестные нам стороны: $$\frac{LB}{LD} = \frac{BC}{AD}$$ Подставим известные значения: $$\frac{7}{21} = \frac{4}{AD}$$ Теперь давай решим это уравнение, чтобы найти $AD$. Можно упростить дробь $7/21$, это будет $1/3$: $$\frac{1}{3} = \frac{4}{AD}$$ Чтобы найти $AD$, можно перемножить крест-на-крест: $$1 \cdot AD = 3 \cdot 4$$ $$AD = 12$$ **Ответ:** $AD = 12$