Найти точку минимума функции z = x² + 2y² - 2xy - 10x + 10y + 20

Привет! Давай найдём точку минимума этой функции. Для этого мы сначала найдём частные производные по $x$ и по $y$, а потом приравняем их к нулю, чтобы найти критические точки. 1. **Находим частные производные:** * Частная производная по $x$: Мы смотрим на $y$ как на константу. $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y^2 - 2xy - 10x + 10y + 20) = 2x - 2y - 10 $$ * Частная производная по $y$: Мы смотрим на $x$ как на константу. $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2y^2 - 2xy - 10x + 10y + 20) = 4y - 2x + 10 $$ 2. **Приравниваем производные к нулю и решаем систему уравнений:** $$ \begin{cases} 2x - 2y - 10 = 0 \\ 4y - 2x + 10 = 0 \end{cases} $$ Давай упростим первое уравнение, разделив всё на 2: $$ x - y - 5 = 0 \Rightarrow x = y + 5 $$ Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $$ 4y - 2(y + 5) + 10 = 0 $$ $$ 4y - 2y - 10 + 10 = 0 $$ $$ 2y = 0 $$ $$ y = 0 $$ Теперь, когда мы знаем $y$, найдём $x$: $$ x = 0 + 5 $$ $$ x = 5 $$ Итак, мы нашли критическую точку $(5, 0)$. 3. **Проверим, является ли эта точка точкой минимума.** Для этого нам нужно найти вторые частные производные. * $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - 2y - 10) = 2 $$ * $$ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(4y - 2x + 10) = 4 $$ * $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x - 2y - 10) = -2 $$ Теперь вычислим определитель Гессе (D): $$ D = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)^2 $$ $$ D = 2 \cdot 4 - (-2)^2 = 8 - 4 = 4 $$ Так как $D = 4 > 0$ и $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2 > 0$, это значит, что точка $(5, 0)$ является точкой минимума. **Ответ: (5, 0)**