Упрости выражения: $\frac{5^{12} \cdot 5^4}{5^{13}}$ и $(-1\frac{7}{9})^{12} : (-1\frac{7}{9})^{20}$

Привет! Давай разберёмся с этими примерами по порядку. Тут используются свойства степеней, которые очень похожи на правила, когда ты считаешь одинаковые конфеты в разных коробках. ### Задания на упрощение выражений: 6) Чтобы упростить выражение $\frac{5^{12} \cdot 5^4}{5^{13}}$, сначала умножим числа в числителе (наверху). Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием (у нас это 5), мы просто складываем их показатели (маленькие числа сверху): $$5^{12} \cdot 5^4 = 5^{12+4} = 5^{16}$$ Теперь у нас получилось $\frac{5^{16}}{5^{13}}$. Когда мы делим степени с одинаковым основанием, мы вычитаем показатели: $$5^{16} : 5^{13} = 5^{16-13} = 5^3$$ Теперь посчитаем, сколько будет $5^3$: $$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$$ **Ответ: 125** 7) Разберём выражение $\frac{0.3^9 \cdot 0.3^{18}}{0.3^{23} \cdot 0.3^4}$. Сначала упростим числитель и знаменатель отдельно. Для числителя: $$0.3^9 \cdot 0.3^{18} = 0.3^{9+18} = 0.3^{27}$$ Для знаменателя: $$0.3^{23} \cdot 0.3^4 = 0.3^{23+4} = 0.3^{27}$$ Теперь у нас получилось $\frac{0.3^{27}}{0.3^{27}}$. Когда число делится само на себя, результат всегда 1: $$\frac{0.3^{27}}{0.3^{27}} = 1$$ **Ответ: 1** 8) У нас есть выражение $2^3 \cdot 128$. Сначала посчитаем $2^3$: $$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$ Теперь нам нужно умножить 8 на 128. А ещё можно заметить, что 128 — это тоже степень двойки. Давай попробуем найти, какая это степень: $$2 \cdot 2 = 4$$ $$4 \cdot 2 = 8$$ $$8 \cdot 2 = 16$$ $$16 \cdot 2 = 32$$ $$32 \cdot 2 = 64$$ $$64 \cdot 2 = 128$$ Значит, $128 = 2^7$. Теперь наше выражение выглядит так: $$2^3 \cdot 2^7$$ Опять складываем показатели, потому что основание одинаковое: $$2^{3+7} = 2^{10}$$ Теперь посчитаем $2^{10}$: $$2^{10} = 1024$$ **Ответ: 1024** 9) Рассмотрим $81 : 3^3 \cdot 3^4$. Сначала заметим, что 81 — это тоже степень тройки: $$3 \cdot 3 = 9$$ $$9 \cdot 3 = 27$$ $$27 \cdot 3 = 81$$ Значит, $81 = 3^4$. Перепишем выражение: $$3^4 : 3^3 \cdot 3^4$$ Сначала выполним деление: при делении степеней показатели вычитаются: $$3^4 : 3^3 = 3^{4-3} = 3^1 = 3$$ Теперь умножим результат на $3^4$: при умножении степеней показатели складываются: $$3 \cdot 3^4 = 3^1 \cdot 3^4 = 3^{1+4} = 3^5$$ Теперь посчитаем $3^5$: $$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$$ **Ответ: 243** 10) Упростим выражение $\frac{625 \cdot 5^3}{5^5}$. Как и в предыдущих примерах, давай представим 625 как степень пятерки: $$5 \cdot 5 = 25$$ $$25 \cdot 5 = 125$$ $$125 \cdot 5 = 625$$ Получается, $625 = 5^4$. Перепишем выражение: $$\frac{5^4 \cdot 5^3}{5^5}$$ Сначала разберёмся с числителем (наверху): при умножении степеней показатели складываются: $$5^4 \cdot 5^3 = 5^{4+3} = 5^7$$ Теперь у нас получилось $\frac{5^7}{5^5}$. При делении степеней показатели вычитаются: $$5^7 : 5^5 = 5^{7-5} = 5^2$$ Посчитаем $5^2$: $$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$$ **Ответ: 25** ### Задания на возведение в степень произведения: 3) Возведём $(2x)^5$ в степень. Когда произведение возводится в степень, каждый множитель (число и буква) возводится в эту степень отдельно: $$(2x)^5 = 2^5 \cdot x^5$$ Посчитаем $2^5$: $$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$$ Значит, $(2x)^5 = 32x^5$. **Ответ: $32x^5$** 4) Возведём $(-3ab)^4$ в степень. Каждый множитель возводим в 4-ю степень. Обрати внимание на знак минус: когда отрицательное число возводится в чётную степень (как 4), результат становится положительным. $$(-3ab)^4 = (-3)^4 \cdot a^4 \cdot b^4$$ Посчитаем $(-3)^4$: $$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$$ Значит, $(-3ab)^4 = 81a^4b^4$. **Ответ: $81a^4b^4$** 5) Возведём $(-0.1mn)^6$ в степень. Снова, каждый множитель возводим в 6-ю степень. Так как степень чётная (6), знак минус исчезнет. $$(-0.1mn)^6 = (-0.1)^6 \cdot m^6 \cdot n^6$$ Посчитаем $(-0.1)^6$: $$(-0.1)^6 = 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.1 = 0.000001$$ Значит, $(-0.1mn)^6 = 0.000001m^6n^6$. **Ответ: $0.000001m^6n^6$** 6) Возведём $(\frac{2}{5}pq)^4$ в степень. Каждый множитель возводим в 4-ю степень: $$(\frac{2}{5}pq)^4 = (\frac{2}{5})^4 \cdot p^4 \cdot q^4$$ Посчитаем $(\frac{2}{5})^4$: для этого возведём в 4-ю степень и числитель (верхнюю часть дроби), и знаменатель (нижнюю часть дроби). $$(\frac{2}{5})^4 = \frac{2^4}{5^4} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{16}{625}$$ Значит, $(\frac{2}{5}pq)^4 = \frac{16}{625}p^4q^4$. **Ответ: $\frac{16}{625}p^4q^4$** ### Дополнительное задание: Мы видим выражение $(-1\frac{7}{9})^{12} : (-1\frac{7}{9})^{20}$. Здесь нужно поделить степени с одинаковым основанием. Как мы уже знаем, при делении степеней показатели вычитаются. Сначала переведём смешанную дробь в неправильную: $$-1\frac{7}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = -\frac{9+7}{9} = -\frac{16}{9}$$ Теперь наше выражение выглядит так: $$(- \frac{16}{9})^{12} : (- \frac{16}{9})^{20} = (- \frac{16}{9})^{12-20} = (- \frac{16}{9})^{-8}$$ Когда степень отрицательная, это означает, что нужно перевернуть дробь (числитель и знаменатель поменять местами) и степень станет положительной: $$(- \frac{16}{9})^{-8} = (-\frac{9}{16})^8$$ Так как степень чётная (8), знак минус исчезнет: $$(-\frac{9}{16})^8 = (\frac{9}{16})^8$$ **Ответ: $(\frac{9}{16})^8$**