Найди такие рациональные a и b, что (1 + √3) + (2 + √3) + (3 + √3) + a(4 + √3) + b(5 + √3) = 0.

Привет! Давай разберёмся с этим уравнением. У нас есть такое равенство: $$(1 + \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) + (3 + \sqrt{3}) + a(4 + \sqrt{3}) + b(5 + \sqrt{3}) = 0$$ Сначала мы раскроем все скобки и сгруппируем все числа без $\sqrt{3}$ отдельно, а числа с $\sqrt{3}$ отдельно. Это поможет нам увидеть, что к чему. Раскрываем скобки: $$1 + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} + 4a + a\sqrt{3} + 5b + b\sqrt{3} = 0$$ Теперь соберём вместе все «обычные» числа (целые части) и все части с $\sqrt{3}$: $$(1 + 2 + 3 + 4a + 5b) + (\sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} + a\sqrt{3} + b\sqrt{3}) = 0$$ Давай посчитаем, что получилось в каждой скобке: В первой скобке (это числа без $\sqrt{3}$): $$1 + 2 + 3 + 4a + 5b = 6 + 4a + 5b$$ Во второй скобке (это числа с $\sqrt{3}$): $$3\sqrt{3} + a\sqrt{3} + b\sqrt{3} = (3 + a + b)\sqrt{3}$$ Итак, наше уравнение теперь выглядит так: $$(6 + 4a + 5b) + (3 + a + b)\sqrt{3} = 0$$ Мы знаем, что если сумма числа и числа с $\sqrt{3}$ равна нулю, а числа $a$ и $b$ рациональные, то обе части должны быть равны нулю. Почему? Потому что $\sqrt{3}$ — это иррациональное число, и его нельзя сложить с обычным числом так, чтобы они исчезли, если только множитель при $\sqrt{3}$ не равен нулю. Значит, мы получаем систему из двух уравнений: $$\begin{cases} 6 + 4a + 5b = 0 \\ 3 + a + b = 0 \end{cases}$$ Из второго уравнения мы можем легко найти $a$: $a = -3 - b$. Это очень удобно! Теперь подставим это значение $a$ в первое уравнение: $$6 + 4(-3 - b) + 5b = 0$$ $$6 - 12 - 4b + 5b = 0$$ $$-6 + b = 0$$ $$b = 6$$ Отлично, мы нашли $b$. Теперь, когда мы знаем $b$, можем найти $a$ с помощью равенства $a = -3 - b$: $$a = -3 - 6$$ $$a = -9$$ Вот и всё! Мы нашли значения $a$ и $b$. **Ответ:** $a = -9$, $b = 6$