Число x таково, что среди чисел x - \sqrt{2}, x + \frac{1}{x}, x - \frac{1}{x}, x^2 + 2\sqrt{2} ровно одно не является целым. Введите значения целых чисел в произвольном порядке.

Привет! Давай разберемся с этой интересной задачкой. У нас есть четыре числа, и только одно из них не целое. Это значит, что остальные три числа должны быть целыми. Давай рассмотрим каждое из чисел: 1. $$\text{x} - \sqrt{2}$$ 2. $$\text{x} + \frac{1}{\text{x}}$$ 3. $$\text{x} - \frac{1}{\text{x}}$$ 4. $$\text{x}^2 + 2\sqrt{2}$$ Если число $$\text{x}$$ целое, то: * $$\text{x} - \sqrt{2}$$ не будет целым (так как $$\sqrt{2}$$ не целое). * $$\text{x} + \frac{1}{\text{x}}$$ и $$\text{x} - \frac{1}{\text{x}}$$ могут быть целыми только если $$\frac{1}{\text{x}}$$ целое. Это возможно, если $$\text{x} = 1$$ или $$\text{x} = -1$$. * $$\text{x}^2 + 2\sqrt{2}$$ не будет целым. Из этого видно, что если $$\text{x}$$ целое, то два числа $$\text{x} - \sqrt{2}$$ и $$\text{x}^2 + 2\sqrt{2}$$ точно не целые, что противоречит условию задачи (только одно число не целое). Значит, $$\text{x}$$ не может быть целым числом. Теперь, давай попробуем найти такое $$\text{x}$$, чтобы только одно из чисел было не целым. **Вариант 1:** Пусть $$\text{x} - \sqrt{2}$$ — не целое число. Тогда остальные три числа должны быть целыми. Тогда $$\text{x} + \frac{1}{\text{x}}$$ должно быть целым, $$\text{x} - \frac{1}{\text{x}}$$ должно быть целым, а также $$\text{x}^2 + 2\sqrt{2}$$ должно быть целым. Если $$\text{x} + \frac{1}{\text{x}}$$ и $$\text{x} - \frac{1}{\text{x}}$$ целые, то их сумма тоже должна быть целой: $$( \text{x} + \frac{1}{\text{x}} ) + ( \text{x} - \frac{1}{\text{x}} ) = 2\text{x}$$ — целое число. Это значит, что $$\text{x}$$ может быть либо целым, либо числом вида $$\frac{\text{k}}{2}$$ (например, $$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$$ и так далее). Также их разность должна быть целой: $$( \text{x} + \frac{1}{\text{x}} ) - ( \text{x} - \frac{1}{\text{x}} ) = \frac{2}{\text{x}}$$ — целое число. Это значит, что $$\text{x}$$ должно быть таким, чтобы $$\frac{2}{\text{x}}$$ было целым. Возможные значения $$\text{x}$$ (если $$\text{x}$$ не целое): $$\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}$$ и так далее. Теперь посмотрим на $$\text{x}^2 + 2\sqrt{2}$$. Если оно целое, то $$\text{x}^2$$ должно быть вида $$\text{k} - 2\sqrt{2}$$ (где $$\text{k}$$ целое). Давайте предположим, что $$\text{x}$$ имеет вид $$\text{a} + \text{b}\sqrt{2}$$. Если $$\text{x} - \sqrt{2}$$ не целое, то $$\text{x}^2 + 2\sqrt{2}$$ должно быть целым. Рассмотрим случай, когда $$\text{x} = \text{k} + \sqrt{2}$$ для какого-то целого числа $$\text{k}$$. Тогда: 1. $$\text{x} - \sqrt{2} = (\text{k} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} = \text{k}$$ — это целое число. Но мы договорились, что только одно число не целое. Если $$\text{x} - \sqrt{2}$$ целое, то оно не может быть тем самым не целым числом. Значит, нам нужно, чтобы $$\text{x}$$ было таким, чтобы **три** из этих выражений были целыми, а одно — нет. Давай попробуем сделать $$\text{x} - \sqrt{2}$$ целым. Тогда $$\text{x}$$ должно быть вида $$\text{n} + \sqrt{2}$$, где $$\text{n}$$ — целое число. Если $$\text{x} = \text{n} + \sqrt{2}$$: 1. $$\text{x} - \sqrt{2} = (\text{n} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} = \text{n}$$ (целое число) 2. $$\text{x}^2 + 2\sqrt{2} = (\text{n} + \sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} = (\text{n}^2 + 2\text{n}\sqrt{2} + 2) + 2\sqrt{2} = \text{n}^2 + 2 + (2\text{n} + 2)\sqrt{2}$$. Чтобы это было целым, $$(2\text{n} + 2)\sqrt{2}$$ должно быть равно 0, что возможно только если $$\text{n} = -1$$. Давай проверим случай $$\text{n} = -1$$. Тогда $$\text{x} = -1 + \sqrt{2}$$. Подставляем $$\text{x} = -1 + \sqrt{2}$$ в наши выражения: 1. $$\text{x} - \sqrt{2} = (-1 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} = -1$$ (целое число) 2. $$\text{x} + \frac{1}{\text{x}} = (-1 + \sqrt{2}) + \frac{1}{-1 + \sqrt{2}}$$ Для того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: $$\frac{1}{-1 + \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (-1 - \sqrt{2})}{(-1 + \sqrt{2}) \cdot (-1 - \sqrt{2})} = \frac{-1 - \sqrt{2}}{(-1)^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{-1 - \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{-1 - \sqrt{2}}{-1} = 1 + \sqrt{2}$$ Тогда $$\text{x} + \frac{1}{\text{x}} = (-1 + \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$$ (не целое число) 3. $$\text{x} - \frac{1}{\text{x}} = (-1 + \sqrt{2}) - (1 + \sqrt{2}) = -1 + \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} = -2$$ (целое число) 4. $$\text{x}^2 + 2\sqrt{2} = (-1 + \sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} = ((-1)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) + 2\sqrt{2} = (1 - 2\sqrt{2} + 2) + 2\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3$$ (целое число) Итак, при $$\text{x} = -1 + \sqrt{2}$$ мы получили: * $$\text{x} - \sqrt{2} = -1$$ (целое) * $$\text{x} + \frac{1}{\text{x}} = 2\sqrt{2}$$ (не целое) * $$\text{x} - \frac{1}{\text{x}} = -2$$ (целое) * $$\text{x}^2 + 2\sqrt{2} = 3$$ (целое) В этом случае ровно одно число ($$2\sqrt{2}$$) не является целым. Это соответствует условию задачи. Нам нужно ввести значения **целых чисел** из этого списка. Целыми числами являются: -1, -2, 3 **Ответ: -1, -2, 3**