Упрости выражение $\sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}}$

Привет! Давай вместе упростим это выражение. Нам нужно сделать так, чтобы под большим корнем получилось что-то в квадрате. Помнишь формулу сокращённого умножения $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$? Мы попробуем получить похожую структуру. Давай посмотрим на выражение под внутренним корнем $\sqrt{a - 1}$. Это значит, что если бы мы хотели представить $a - 1$ как произведение двух чисел, то эти числа были бы $x$ и $y$ в формуле $(x+y)^2$, но здесь знак минус, поэтому больше подойдёт $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Представим $a$ как $a-1+1$. Тогда наше выражение станет: $$\sqrt{(a-1) + 1 + 2\sqrt{a-1}}$$ Теперь давай сделаем небольшую замену для удобства. Пусть $x = \sqrt{a-1}$. Тогда $x^2 = a-1$. Подставим это в выражение: $$\sqrt{x^2 + 1 + 2x}$$ Ты узнаёшь это выражение? Это же $(x+1)^2$! Значит, мы можем записать: $$\sqrt{(x+1)^2}$$ Когда мы берём корень из квадрата, мы получаем модуль числа. То есть $\sqrt{k^2} = |k|$. В нашем случае это будет: $$|x+1|$$ Теперь вернёмся к $x = \sqrt{a-1}$: $$|\sqrt{a-1} + 1|$$ Так как $\sqrt{a-1}$ всегда больше или равно нулю (ведь под корнем не может быть отрицательного числа, поэтому $a-1 \ge 0$, то есть $a \ge 1$), и к нему прибавляется 1, то всё выражение $\sqrt{a-1} + 1$ всегда будет положительным. Значит, модуль можно просто убрать. **Ответ:** $\sqrt{a-1} + 1$