Реши все задания из варианта 1 по алгебре, включая преобразование в многочлен, упрощение выражений, разложение на множители и решение уравнения

Привет! Отлично, давай разбираться с этими заданиями по алгебре. Всегда начинай с того, чтобы внимательно прочитать задание и вспомнить нужные правила и формулы. *** ### Задание 1. Преобразуйте в многочлен: Здесь нам нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то есть превратить выражения в многочлен. Будем использовать формулы сокращённого умножения: * Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ * Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ * Разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ **а) $(y-4)^2$** Это квадрат разности. У нас $a=y$ и $b=4$. Применяем формулу: $$(y-4)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2$$ $$= y^2 - 8y + 16$$ **Ответ: $y^2 - 8y + 16$** **б) $(7x+a)^2$** Это квадрат суммы. У нас $a=7x$ и $b=a$. Применяем формулу: $$(7x+a)^2 = (7x)^2 + 2 \cdot (7x) \cdot a + a^2$$ $$= 49x^2 + 14ax + a^2$$ **Ответ: $49x^2 + 14ax + a^2$** **в) $(5c-1)(5c+1)$** Это разность квадратов. У нас $a=5c$ и $b=1$. Применяем формулу: $$(5c-1)(5c+1) = (5c)^2 - 1^2$$ $$= 25c^2 - 1$$ **Ответ: $25c^2 - 1$** **г) $(3a+2b)(3a-2b)$** Это тоже разность квадратов. У нас $a=3a$ и $b=2b$. Применяем формулу: $$(3a+2b)(3a-2b) = (3a)^2 - (2b)^2$$ $$= 9a^2 - 4b^2$$ **Ответ: $9a^2 - 4b^2$** *** ### Задание 2. Упростите выражение: Нам нужно раскрыть скобки, используя формулы сокращённого умножения, а затем привести подобные слагаемые. $$(a-9)^2 - (81+2a)$$ Сначала раскроем $(a-9)^2$ как квадрат разности: $$(a-9)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 9 + 9^2 = a^2 - 18a + 81$$ Теперь подставим это обратно в выражение: $$a^2 - 18a + 81 - (81+2a)$$ Раскроем вторые скобки. Перед ними стоит минус, поэтому все знаки внутри скобок поменяются на противоположные: $$a^2 - 18a + 81 - 81 - 2a$$ Теперь приведём подобные слагаемые (те, у которых одинаковая буквенная часть): * $a^2$: у нас только одно такое слагаемое. * $-18a$ и $-2a$: складываем коэффициенты: $-18 - 2 = -20$. Получаем $-20a$. * $81$ и $-81$: $81 - 81 = 0$. В итоге получаем: $$a^2 - 20a$$ **Ответ: $a^2 - 20a$** *** ### Задание 3. Разложите на множители: Разложить на множители — это значит представить выражение в виде произведения нескольких множителей (например, скобок). **а) $x^2-49$** Это выражение очень похоже на формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. У нас $x^2$ — это $a^2$, значит $a=x$. $49$ — это $b^2$, значит $b = \sqrt{49} = 7$. Применяем формулу: $$x^2-49 = (x-7)(x+7)$$ **Ответ: $(x-7)(x+7)$** **б) $25x^2-10xy+y^2$** Это выражение похоже на формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Давай проверим: * Первое слагаемое $25x^2$ — это $(5x)^2$. Значит, $a=5x$. * Последнее слагаемое $y^2$ — это $y^2$. Значит, $b=y$. * Среднее слагаемое $-10xy$. По формуле оно должно быть $-2ab$, то есть $-2 \cdot (5x) \cdot y = -10xy$. Всё сходится! Значит, это квадрат разности: $$25x^2-10xy+y^2 = (5x-y)^2$$ **Ответ: $(5x-y)^2$** *** ### Задание 4. Решите уравнение: $$(2-x)^2 - x(x+1,5) = 4$$ Нам нужно раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все члены в одну сторону, чтобы справа остался ноль, и решить получившееся уравнение. 1. **Раскроем скобки $(2-x)^2$** (это квадрат разности): $$(2-x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$$ 2. **Раскроем скобки $-x(x+1,5)$**: $$-x(x+1,5) = -x \cdot x - x \cdot 1,5 = -x^2 - 1,5x$$ 3. **Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение**: $$(4 - 4x + x^2) + (-x^2 - 1,5x) = 4$$ $$4 - 4x + x^2 - x^2 - 1,5x = 4$$ 4. **Приведём подобные слагаемые**: * $x^2 - x^2 = 0$ * $-4x - 1,5x = (-4 - 1,5)x = -5,5x$ Уравнение становится гораздо проще: $$4 - 5,5x = 4$$ 5. **Перенесём все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую**: $$-5,5x = 4 - 4$$ $$-5,5x = 0$$ 6. **Найдём $x$**: $$x = \frac{0}{-5,5}$$ $$x = 0$$ **Ответ: $x = 0$** *** ### Задание 5. Выполните действия: Здесь нам нужно перемножить многочлены или возвести их в степень. **а) $(y^2-2a)(2a+y^2)$** Обрати внимание, что множители очень похожи! Если мы поменяем местами слагаемые во второй скобке, получим: $$(y^2-2a)(y^2+2a)$$ Это формула разности квадратов: $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$. Здесь $A=y^2$ и $B=2a$. Применяем формулу: $$(y^2)^2 - (2a)^2$$ $$= y^4 - 4a^2$$ **Ответ: $y^4 - 4a^2$** **б) $(3x^2+x)^2$** Это квадрат суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Здесь $A=3x^2$ и $B=x$. Применяем формулу: $$(3x^2)^2 + 2 \cdot (3x^2) \cdot x + x^2$$ $$= 9x^4 + 6x^3 + x^2$$ **Ответ: $9x^4 + 6x^3 + x^2$** **в) $(2+m)^2(2-m)^2$** Здесь у нас произведение двух квадратов. Есть такое свойство: $A^n \cdot B^n = (A \cdot B)^n$. Мы можем сначала перемножить $(2+m)$ и $(2-m)$, а потом возвести результат в квадрат: $$((2+m)(2-m))^2$$ Внутренние скобки — это разность квадратов $(A+B)(A-B) = A^2-B^2$. Здесь $A=2$ и $B=m$. $$(2^2 - m^2)^2$$ $$(4 - m^2)^2$$ Теперь это квадрат разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Здесь $A=4$ и $B=m^2$. $$4^2 - 2 \cdot 4 \cdot m^2 + (m^2)^2$$ $$= 16 - 8m^2 + m^4$$ **Ответ: $16 - 8m^2 + m^4$** *** ### Задание 6. Разложите на множители: Снова используем формулы сокращённого умножения, но теперь в обратном порядке. **а) $4x^2y^2-9a^4$** Это похоже на разность квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. * Первое слагаемое $4x^2y^2$ можно записать как $(2xy)^2$. Значит, $A=2xy$. * Второе слагаемое $9a^4$ можно записать как $(3a^2)^2$. Значит, $B=3a^2$. Применяем формулу: $$(2xy)^2 - (3a^2)^2 = (2xy - 3a^2)(2xy + 3a^2)$$ **Ответ: $(2xy - 3a^2)(2xy + 3a^2)$** **б) $25a^2-(a+3)^2$** Это тоже разность квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. * Первое слагаемое $25a^2$ можно записать как $(5a)^2$. Значит, $A=5a$. * Второе слагаемое $(a+3)^2$ уже является квадратом. Значит, $B=(a+3)$. Применяем формулу. Будь особенно внимателен со знаками, когда вычитаешь целое выражение $(a+3)$: $$(5a - (a+3))(5a + (a+3))$$ Теперь раскроем внутренние скобки: * В первой скобке: $5a - (a+3) = 5a - a - 3 = 4a - 3$ * Во второй скобке: $5a + (a+3) = 5a + a + 3 = 6a + 3$ Получаем: $$(4a - 3)(6a + 3)$$ Во второй скобке можно вынести общий множитель 3: $6a+3 = 3(2a+1)$. Тогда окончательный ответ: $$3(4a-3)(2a+1)$$ **Ответ: $(4a - 3)(6a + 3)$ или $3(4a-3)(2a+1)$** **в) $27m^3+n^3$** Это сумма кубов. Формула суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$. * Первое слагаемое $27m^3$ можно записать как $(3m)^3$. Значит, $A=3m$. * Второе слагаемое $n^3$ уже является кубом. Значит, $B=n$. Применяем формулу: $$(3m+n)((3m)^2 - (3m)n + n^2)$$ $$(3m+n)(9m^2 - 3mn + n^2)$$ **Ответ: $(3m+n)(9m^2 - 3mn + n^2)$**