Вычислите: $(\frac{4c}{c-4} - \frac{3c}{c^2-8c+16}) : (\frac{4c-19}{c^2-16} - \frac{4c+16}{c-4})$

Давай по шагам разберём это большое выражение! Сначала упростим то, что в первых скобках: $(\frac{4c}{c-4} - \frac{3c}{c^2-8c+16})$. Заметим, что $c^2-8c+16$ — это формула квадрата разности, то есть $(c-4)^2$. Тогда получим: $$\frac{4c}{c-4} - \frac{3c}{(c-4)^2}$$ Приводим к общему знаменателю $(c-4)^2$. Для этого первую дробь умножаем на $(c-4)$: $$\frac{4c(c-4)}{(c-4)^2} - \frac{3c}{(c-4)^2} = \frac{4c^2 - 16c - 3c}{(c-4)^2} = \frac{4c^2 - 19c}{(c-4)^2} = \frac{c(4c-19)}{(c-4)^2}$$ Теперь упростим то, что во вторых скобках: $(\frac{4c-19}{c^2-16} - \frac{4c+16}{c-4})$. Заметим, что $c^2-16$ — это формула разности квадратов, то есть $(c-4)(c+4)$. Тогда получим: $$\frac{4c-19}{(c-4)(c+4)} - \frac{4c+16}{c-4}$$ Приводим к общему знаменателю $(c-4)(c+4)$. Для этого вторую дробь умножаем на $(c+4)$: $$\frac{4c-19}{(c-4)(c+4)} - \frac{(4c+16)(c+4)}{(c-4)(c+4)}$$ Раскроем скобки в числителе второй дроби: $$(4c+16)(c+4) = 4c \cdot c + 4c \cdot 4 + 16 \cdot c + 16 \cdot 4 = 4c^2 + 16c + 16c + 64 = 4c^2 + 32c + 64$$ Теперь подставляем это обратно и не забываем про знак минус перед дробью: $$\frac{4c-19 - (4c^2 + 32c + 64)}{(c-4)(c+4)} = \frac{4c-19 - 4c^2 - 32c - 64}{(c-4)(c+4)} = \frac{-4c^2 - 28c - 83}{(c-4)(c+4)}$$ Теперь нам нужно разделить результат первых скобок на результат вторых скобок. Деление дробей — это умножение на перевёрнутую вторую дробь: $$\frac{c(4c-19)}{(c-4)^2} : \frac{-4c^2 - 28c - 83}{(c-4)(c+4)} = \frac{c(4c-19)}{(c-4)^2} \cdot \frac{(c-4)(c+4)}{-4c^2 - 28c - 83}$$ Сокращаем $(c-4)$ в числителе и знаменателе: $$\frac{c(4c-19)}{c-4} \cdot \frac{c+4}{-4c^2 - 28c - 83}$$ Объединяем числители и знаменатели: $$\frac{c(4c-19)(c+4)}{(c-4)(-4c^2 - 28c - 83)}$$ **Ответ:** $$\frac{c(4c-19)(c+4)}{(c-4)(-4c^2 - 28c - 83)}$$