Реши неравенство: $\frac{m^2 + 6}{\sqrt{m^2 + 5}} > 2$

Question

Вопрос:

Реши неравенство: $\frac{m^2 + 6}{\sqrt{m^2 + 5}} > 2$

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай решим это неравенство шаг за шагом. $$\frac{m^2 + 6}{\sqrt{m^2 + 5}} > 2$$ Смотри, у нас есть квадратный корень $\sqrt{m^2 + 5}$. Мы знаем, что под корнем не может быть отрицательного числа, а ещё, так как корень в знаменателе, он не может быть равен нулю. Значит, $m^2 + 5 > 0$. Это неравенство всегда выполняется, потому что $m^2$ всегда больше или равен нулю ($m^2 \ge 0$), а если прибавить 5, то получится число, которое точно больше нуля ($m^2 + 5 \ge 5$). Теперь, когда мы знаем, что знаменатель всегда положительный, мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знак неравенства: $$m^2 + 6 > 2\sqrt{m^2 + 5}$$ Чтобы было удобнее, давай сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{m^2 + 5}$. Тогда $y$ всегда будет положительным ($y > 0$). Если $y = \sqrt{m^2 + 5}$, то $y^2 = m^2 + 5$. Значит, $m^2 = y^2 - 5$. Подставим это в наше неравенство: $$(y^2 - 5) + 6 > 2y$$ $$y^2 + 1 > 2y$$ Перенесем $2y$ в левую часть: $$y^2 - 2y + 1 > 0$$ Ты, наверное, узнал эту формулу! Это же квадрат разности: $$(y - 1)^2 > 0$$ Это неравенство будет верным всегда, кроме случая, когда $(y - 1)^2 = 0$. А это происходит, когда $y - 1 = 0$, то есть $y = 1$. Значит, $y$ может быть любым положительным числом, кроме $y=1$. Вспомним, что $y = \sqrt{m^2 + 5}$. Сначала разберем, когда $y=1$: $$\sqrt{m^2 + 5} = 1$$ Возведем обе части в квадрат: $$m^2 + 5 = 1$$ $$m^2 = 1 - 5$$ $$m^2 = -4$$ Это уравнение не имеет решений, потому что квадрат числа не может быть отрицательным. Значит, $y$ никогда не будет равен $1$. Так как $y > 0$ всегда, а $y$ никогда не равен $1$, то неравенство $(y - 1)^2 > 0$ всегда выполняется для $y = \sqrt{m^2 + 5}$. Это означает, что исходное неравенство верно для всех значений $m$, при которых оно определено. А мы уже выяснили, что оно определено для всех действительных $m$. **Ответ: $m \in (-\infty; +\infty)$**

Реши неравенство: $\frac{m^2 + 6}{\sqrt{m^2 + 5}} &gt; 2$

Ответ ассистента

Другие решения

Реши неравенство: $\frac{m^2 + 6}{\sqrt{m^2 + 5}} > 2$