Найдите значение выражения: а) $4^{-10} \cdot (4^3)^4$

Привет! Давай вместе решим эти примеры, используя правила работы со степенями. Это очень похоже на конструктор, когда из одних деталек нужно собрать что-то новое! а) $4^{-10} \cdot (4^3)^4$ Сначала разберёмся со скобками. Когда степень возводится в степень, показатели перемножаются: $(4^3)^4 = 4^{3 \cdot 4} = 4^{12}$. Теперь у нас есть: $4^{-10} \cdot 4^{12}$. Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: $4^{-10 + 12} = 4^2$. $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$. **Ответ: 16** б) $5^{-7} \cdot (5^5)^2$ Снова сначала скобки: $(5^5)^2 = 5^{5 \cdot 2} = 5^{10}$. Теперь умножаем: $5^{-7} \cdot 5^{10} = 5^{-7 + 10} = 5^3$. $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$. **Ответ: 125** в) $(\frac{1}{3})^{-8} \cdot (\frac{1}{3})^7$ Здесь основание уже одинаковое, поэтому просто складываем показатели: $(\frac{1}{3})^{-8 + 7} = (\frac{1}{3})^{-1}$. Отрицательная степень означает, что нужно "перевернуть" дробь: $(\frac{1}{3})^{-1} = \frac{3}{1} = 3$. **Ответ: 3** г) $(\frac{1}{4})^{-10} \cdot (\frac{1}{4})^9$ Опять же, складываем показатели: $(\frac{1}{4})^{-10 + 9} = (\frac{1}{4})^{-1}$. Переворачиваем дробь: $(\frac{1}{4})^{-1} = \frac{4}{1} = 4$. **Ответ: 4** д) $a^8 \cdot a^{17} : a^{20}$ Сначала умножение: $a^8 \cdot a^{17} = a^{8 + 17} = a^{25}$. Теперь деление: $a^{25} : a^{20} = a^{25 - 20} = a^5$. **Ответ: $a^5$** е) $\sqrt{a^8} \cdot (-a)^4$ при $a = 2$ Сначала упростим выражения. Корень из степени: $\sqrt{a^8} = (a^8)^{\frac{1}{2}} = a^{8 \cdot \frac{1}{2}} = a^4$. Степень с отрицательным числом: $(-a)^4$. Так как степень чётная (4), минус "исчезнет", и получится $a^4$. Например, $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$, а $2^4 = 16$. Теперь у нас: $a^4 \cdot a^4 = a^{4 + 4} = a^8$. Подставляем $a = 2$: $2^8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 256$. **Ответ: 256** ж) $a^{23} \cdot (b^5)^4 / (a \cdot b)^{20}$ при $a = 2, b = \sqrt{2}$ Давай упрощать по шагам: 1. Разберёмся со скобками в числителе: $(b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$. Теперь числитель выглядит так: $a^{23} \cdot b^{20}$. 2. Разберёмся со скобками в знаменателе: $(a \cdot b)^{20} = a^{20} \cdot b^{20}$. Вся дробь теперь такая: $a^{23} \cdot b^{20} / (a^{20} \cdot b^{20})$. 3. Мы видим, что $b^{20}$ есть и в числителе, и в знаменателе, значит, их можно сократить! Остаётся: $a^{23} / a^{20}$. 4. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $a^{23 - 20} = a^3$. Теперь подставляем значение $a = 2$: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. **Ответ: 8**