Найди значение выражения: а) √7 * 12 * √21

Привет! Давай разберёмся с этими примерами по порядку. Будем использовать свойство корней: $$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$ и $$\sqrt{a^2} = a$$ а) $\sqrt{7 \cdot 12 \cdot \sqrt{21}}$ Ой, кажется, тут есть небольшая опечатка в записи выражения. Обычно в таких заданиях все числа находятся под одним корнем, или корни умножаются друг на друга. Если бы это было $\sqrt{7} \cdot 12 \cdot \sqrt{21}$, то решение было бы такое: **Допущение:** Решаем пример как $\sqrt{7} \cdot 12 \cdot \sqrt{21}$. 1. Сначала объединим корни: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{7 \cdot 21}$. 2. Теперь перемножим числа под корнем: $7 \cdot 21 = 7 \cdot 7 \cdot 3 = 49 \cdot 3$. 3. Значит, $\sqrt{49 \cdot 3} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{3} = 7 \sqrt{3}$. 4. Теперь умножим это на $12$: $12 \cdot 7 \sqrt{3} = 84 \sqrt{3}$. **Ответ: $84 \sqrt{3}$** б) $3\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{38}$ 1. Сначала перемножим числа перед корнями: $3 \cdot 3 = 9$. 2. Теперь объединим корни: $\sqrt{19} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{38} = \sqrt{19 \cdot 2 \cdot 38}$. 3. Заметим, что $38 = 19 \cdot 2$. Так что под корнем у нас будет: $19 \cdot 2 \cdot (19 \cdot 2) = (19 \cdot 2)^2 = 38^2$. 4. Тогда $\sqrt{38^2} = 38$. 5. Осталось перемножить все части: $9 \cdot 38$. $9 \cdot 38 = 9 \cdot (30 + 8) = 9 \cdot 30 + 9 \cdot 8 = 270 + 72 = 342$. **Ответ: $342$** в) $\sqrt{54 \cdot 90 \cdot 15}$ 1. Разложим каждое число на простые множители, чтобы было удобнее извлекать корень: $54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$ $90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 2 \cdot 5$ $15 = 3 \cdot 5$ 2. Теперь подставим это в выражение под корень: $$\sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (3^2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5)}$$ 3. Сгруппируем одинаковые множители: $$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3^3 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{2^2 \cdot 3^{3+2+1} \cdot 5^{1+1}} = \sqrt{2^2 \cdot 3^6 \cdot 5^2}$$ 4. Теперь извлечём корень из каждого множителя (для этого показатель степени делим на 2): $$\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^6} \cdot \sqrt{5^2} = 2^1 \cdot 3^{6/2} \cdot 5^1 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$$ 5. Вычислим значения: $3^3 = 27$ $2 \cdot 27 \cdot 5 = 10 \cdot 27 = 270$. **Ответ: $270$** г) $\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^4}$ 1. Здесь уже все числа представлены в виде степеней, так что сразу извлекаем корень из каждого множителя. Для этого показатель степени делим на 2: $$\sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^4} = 2^{4/2} \cdot 3^{2/2} \cdot 5^{4/2} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2$$ 2. Теперь вычислим значения степеней: $2^2 = 4$ $3^1 = 3$ $5^2 = 25$ 3. Перемножим полученные числа: $4 \cdot 3 \cdot 25 = 12 \cdot 25$. 4. $12 \cdot 25 = 300$. **Ответ: $300$**