Найти положительный коэффициент k уравнения 5x²-kx +1= 0, если его корни удовлетворяют условию x₁ - x₂ = 1.

Привет! Давай вместе решим эту интересную задачу. У нас есть квадратное уравнение $5x^2 - kx + 1 = 0$. Мы знаем, что его корни $x_1$ и $x_2$ связаны условием $x_1 - x_2 = 1$. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ по теореме Виета мы можем записать: 1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ В нашем уравнении $5x^2 - kx + 1 = 0$: $a = 5$ $b = -k$ $c = 1$ Тогда по теореме Виета получаем: 1. $x_1 + x_2 = -\frac{-k}{5} = \frac{k}{5}$ 2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{5}$ Теперь у нас есть система из трёх уравнений: $$\begin{cases} x_1 - x_2 = 1 \\ x_1 + x_2 = \frac{k}{5} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{5} \end{cases}$$ Давай сложим первые два уравнения: $(x_1 - x_2) + (x_1 + x_2) = 1 + \frac{k}{5}$ $2x_1 = 1 + \frac{k}{5}$ $x_1 = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{k}{5}\right)$ Теперь вычтем первое уравнение из второго: $(x_1 + x_2) - (x_1 - x_2) = \frac{k}{5} - 1$ $2x_2 = \frac{k}{5} - 1$ $x_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{k}{5} - 1\right)$ Теперь подставим выражения для $x_1$ и $x_2$ в третье уравнение $(x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{5})$: $\frac{1}{2} \left(1 + \frac{k}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} \left(\frac{k}{5} - 1\right) = \frac{1}{5}$ $\frac{1}{4} \left(\frac{k}{5} + 1\right) \left(\frac{k}{5} - 1\right) = \frac{1}{5}$ Это формула разности квадратов $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$. Здесь $A = \frac{k}{5}$ и $B = 1$. $\frac{1}{4} \left(\left(\frac{k}{5}\right)^2 - 1^2\right) = \frac{1}{5}$ $\frac{1}{4} \left(\frac{k^2}{25} - 1\right) = \frac{1}{5}$ Теперь умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби $\frac{1}{4}$: $\frac{k^2}{25} - 1 = \frac{4}{5}$ Перенесём -1 в правую часть: $\frac{k^2}{25} = \frac{4}{5} + 1$ $\frac{k^2}{25} = \frac{4}{5} + \frac{5}{5}$ $\frac{k^2}{25} = \frac{9}{5}$ Теперь умножим обе части уравнения на 25: $k^2 = \frac{9}{5} \cdot 25$ $k^2 = 9 \cdot 5$ $k^2 = 45$ Чтобы найти $k$, возьмём квадратный корень из 45: $k = \pm\sqrt{45}$ Мы можем упростить $\sqrt{45}$: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ Значит, $k = \pm 3\sqrt{5}$. В условии сказано, что $k$ — положительный коэффициент. Поэтому выбираем положительное значение. **Ответ: $k = 3\sqrt{5}$**