Сократи дробь: 1) $$\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$$.

Привет! Давай вместе разберёмся с этими дробями. 1) $$\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$$ Чтобы сократить эту дробь, давай заметим, что число 3 можно записать как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$. Тогда в числителе у нас будет $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}$. Мы можем вынести $\sqrt{3}$ за скобки: $$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{3}}$$ Теперь у нас есть одинаковый множитель $\sqrt{3}$ и в числителе, и в знаменателе. Его можно сократить: $$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$ 2) $$\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-5\sqrt{2}}$$ Здесь мы тоже можем вынести общие множители. В числителе это $\sqrt{5}$ (так как $5 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$): Числитель: $5 - \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5}-1)$ В знаменателе: $\sqrt{10}-5\sqrt{2}$. Давай распишем $\sqrt{10}$ как $\sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$. А число 5 можно записать как $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$. Знаменатель: $\sqrt{5}\sqrt{2} - \sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{2}$. Ой, здесь я ошибся, 5 это не $\sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{2}$. $5\sqrt{2}$ так и оставим. А в знаменателе вынесем $\sqrt{2}$ за скобки: Знаменатель: $\sqrt{10}-5\sqrt{2} = \sqrt{5}\sqrt{2}-5\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5}-5)$ Теперь подставим это обратно в дробь: $$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-5)}$$ Хм, пока не видно, что тут можно сократить. Давай попробуем по-другому в знаменателе. Может быть, вынести $5$ в знаменателе? Знаменатель: $\sqrt{10}-5\sqrt{2} = \sqrt{2 \cdot 5}-5\sqrt{2} = \sqrt{2}\sqrt{5}-5\sqrt{2}$. Вот! Теперь видно, что можно вынести $\sqrt{2}$: Знаменатель: $\sqrt{2}(\sqrt{5}-5)$ И теперь в числителе вынесем $\sqrt{5}$: Числитель: $5-\sqrt{5} = \sqrt{5}\sqrt{5}-\sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5}-1)$ Значит, дробь выглядит так: $$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-5)}$$ Ещё раз посмотрим на $5-\sqrt{5}$. Можно вынести $\sqrt{5}$. $5 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$. Получим $\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)$. А знаменатель $\sqrt{10}-5\sqrt{2} = \sqrt{2}\sqrt{5} - 5\sqrt{2}$. Здесь можно вынести $\sqrt{2}$. Получим $\sqrt{2}(\sqrt{5}-5)$. Итого: $$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-5)}$$ Ой, кажется, я сделал ошибку в самом начале! Давай внимательнее. $5-\sqrt{5}$ это $\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)$. А $\sqrt{10}-5\sqrt{2}$ это $\sqrt{2}\sqrt{5}-5\sqrt{2}$. Можно вынести $\sqrt{2}$ и получим $\sqrt{2}(\sqrt{5}-5)$. Тогда получается $$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-5)}$$. Если поменять местами в скобке в числителе, то это $- (1-\sqrt{5})$. А в знаменателе $\sqrt{5}-5 = - (5-\sqrt{5})$. Давай попробуем вынести $-1$ из скобки в числителе и из скобки в знаменателе: $$\frac{\sqrt{5}(-1)(1-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(-1)(5-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}(1-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(5-\sqrt{5})}$$ Это не очень помогает. Давай попробуем так: в числителе $5 - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5}-1)$. В знаменателе $\sqrt{10} - 5\sqrt{2} = \sqrt{2}\sqrt{5} - 5\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5}-5)$. Получаем $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-5)}$. Мы можем заметить, что $5 - \sqrt{5} = -(\sqrt{5}-5)$. И $\sqrt{5}-1$ и $\sqrt{5}-5$ разные. Давай перепишем знаменатель по-другому, если $5 = (\sqrt{5})^2$: $\sqrt{10}-5\sqrt{2} = \sqrt{2}\sqrt{5}-(\sqrt{5})^2\sqrt{2} = \sqrt{2}\sqrt{5}(1-\sqrt{5})$. Теперь подставляем: $$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}\sqrt{5}(1-\sqrt{5})}$$ Мы видим множитель $\sqrt{5}$ в числителе и знаменателе, его можно сократить: $$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}(1-\sqrt{5})}$$ А теперь заметим, что $(\sqrt{5}-1)$ и $(1-\sqrt{5})$ отличаются только знаком. То есть $\sqrt{5}-1 = - (1-\sqrt{5})$. $$\frac{-(1-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(1-\sqrt{5})}$$ Теперь $(1-\sqrt{5})$ можно сократить: $$\frac{-1}{\sqrt{2}}$$ Обычно не оставляют корень в знаменателе, поэтому можно умножить числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $$\frac{-1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{2}$$ 3) $$\frac{2-\sqrt{6}}{\sqrt{6}-3}$$ Здесь тоже попробуем вынести общие множители. Число $2$ можно представить как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$, а $\sqrt{6}$ как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$. Числитель: $2-\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ В знаменателе $\sqrt{6}-3$. Число $3$ можно записать как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$. Знаменатель: $\sqrt{6}-3 = \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ Теперь подставим это в дробь: $$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}$$ Видно, что множитель $(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ есть и в числителе, и в знаменателе. Сокращаем его: $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ Опять же, давай уберём корень из знаменателя, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ **Ответ:** 1) $$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$ 2) $$\frac{-\sqrt{2}}{2}$$ 3) $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$