Привет! Давай решим эти неравенства методом интервалов. Это очень удобный способ, чтобы понять, где функция больше или меньше нуля.
Сначала упростим дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни квадратных уравнений.
**Для числителя** $x^2 + x - 12 = 0$:
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$.
$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Значит, числитель можно записать как $(x - 3)(x + 4)$.
**Для знаменателя** $x^2 - 4x + 4 = 0$:
Это формула квадрата разности: $(x - 2)^2$. Проверим: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$.
Корень: $x = \frac{-(-4) \pm 0}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Значит, знаменатель можно записать как $(x - 2)^2$.
Теперь наше выражение выглядит так: $$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 2)^2}$$
Отметим на числовой прямой корни числителя (3 и -4) и корень знаменателя (2). Корень знаменателя (2) всегда будет "выколотым" (пустой точкой), потому что делить на ноль нельзя. Если $x=2$, то знаменатель равен 0.
$(x-2)^2$ всегда будет неотрицательным, то есть $\ge 0$. Но так как он в знаменателе, он не может быть равен 0, поэтому $(x-2)^2 > 0$ для всех $x \neq 2$. Это значит, что знак неравенства будет зависеть только от числителя, за исключением точки $x=2$.
Расположим точки на числовой прямой: -4, 2, 3.
Теперь посмотрим на знаки на интервалах:
* **Интервал $(-\infty; -4)$**: Возьмем, например, $x = -5$.
$(-5 - 3)(-5 + 4) = (-8)(-1) = 8 > 0$.
Значит, на этом интервале дробь положительна.
* **Интервал $(-4; 2)$**: Возьмем, например, $x = 0$.
$(0 - 3)(0 + 4) = (-3)(4) = -12 < 0$.
Значит, на этом интервале дробь отрицательна.
* **Интервал $(2; 3)$**: Возьмем, например, $x = 2,5$.
$(2,5 - 3)(2,5 + 4) = (-0,5)(6,5) = -3,25 < 0$.
Значит, на этом интервале дробь отрицательна.
* **Интервал $(3; +\infty)$**: Возьмем, например, $x = 4$.
$(4 - 3)(4 + 4) = (1)(8) = 8 > 0$.
Значит, на этом интервале дробь положительна.
Итак, у нас такая картина знаков:
---(+)---(-4)---(-)---(2)---(-)---(3)---(+)---> X
Давай теперь решим каждое неравенство:
1) $$\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} > 0$$
Нам нужны интервалы, где дробь строго больше нуля (положительна). Это $(-\infty; -4)$ и $(3; +\infty)$. Точки -4 и 3 не входят, так как неравенство строгое. Точка 2 всегда исключена.
**Ответ: $(-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$**
2) $$\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \ge 0$$
Нам нужны интервалы, где дробь больше или равна нулю. Это те же интервалы, что и в первом случае, но точки, где числитель равен нулю, теперь включаются. Значит, -4 и 3 включаем. Точка 2 по-прежнему исключена, потому что делить на ноль нельзя.
**Ответ: $(-\infty; -4] \cup (3; +\infty)$**
3) $$\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} < 0$$
Нам нужны интервалы, где дробь строго меньше нуля (отрицательна). Это $(-4; 2)$ и $(2; 3)$. Точки -4, 2, 3 не входят, так как неравенство строгое.
**Ответ: $(-4; 2) \cup (2; 3)$**
4) $$\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \le 0$$
Нам нужны интервалы, где дробь меньше или равна нулю. Это те же интервалы, что и в третьем случае, но точки, где числитель равен нулю, теперь включаются. Значит, -4 и 3 включаем. Точка 2 по-прежнему исключена.
**Ответ: $[-4; 2) \cup (2; 3]$**
