Чему равна производная функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x^2 - 1}$?

Привет! Давай найдём производную этой функции вместе. Смотри, у нас тут дробь, а чтобы найти производную дроби, нужно использовать специальное правило. Оно выглядит так: Если у нас есть функция $$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$$, то её производная $$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$. В нашем случае: * $$u(x) = x^2 + 3x$$ * $$v(x) = x^2 - 1$$ Теперь найдём производные от $$u(x)$$ и $$v(x)$$: * $$u'(x) = (x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$$ * $$v'(x) = (x^2 - 1)' = (x^2)' - (1)' = 2x - 0 = 2x$$ Теперь подставим всё это в формулу для производной дроби: $$f'(x) = \frac{(2x + 3)(x^2 - 1) - (x^2 + 3x)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$$ Давай раскроем скобки в числителе: $$(2x + 3)(x^2 - 1) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot (-1) + 3 \cdot x^2 + 3 \cdot (-1) = 2x^3 - 2x + 3x^2 - 3$$ $$(x^2 + 3x)(2x) = x^2 \cdot 2x + 3x \cdot 2x = 2x^3 + 6x^2$$ Теперь подставим эти выражения обратно в числитель: $$f'(x) = \frac{(2x^3 + 3x^2 - 2x - 3) - (2x^3 + 6x^2)}{(x^2 - 1)^2}$$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые: $$f'(x) = \frac{2x^3 + 3x^2 - 2x - 3 - 2x^3 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{(2x^3 - 2x^3) + (3x^2 - 6x^2) - 2x - 3}{(x^2 - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-3x^2 - 2x - 3}{(x^2 - 1)^2}$$ **Ответ:** Производная функции $$f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x^2 - 1}$$ равна $$f'(x) = \frac{-3x^2 - 2x - 3}{(x^2 - 1)^2}$$.