Вычислите предел функции $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ при $x \to 0$

Привет! Давай разберёмся с этим пределом. Нам нужно найти предел функции $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ при $x \to 0$. Здесь у нас есть произведение: $x$ и $\sin \frac{1}{x}$. Когда $x$ стремится к $0$, множитель $x$ тоже стремится к $0$. То есть, $x \to 0$. А что происходит с $\sin \frac{1}{x}$? Когда $x$ стремится к $0$, величина $\frac{1}{x}$ будет становиться очень-очень большой (стремиться к бесконечности). Но функция синуса, вне зависимости от того, какое большое число мы в неё подставляем, всегда остаётся в пределах от $-1$ до $1$. То есть, $-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$. Значит, у нас есть ситуация, когда одна часть выражения стремится к $0$ ($x \to 0$), а другая часть ограничена ($\sin \frac{1}{x}$ между $-1$ и $1$). В таком случае, по теореме о двух милиционерах (или теореме о сэндвиче), если мы умножим $0$ на ограниченное число, то результат будет $0$. Помнишь, как $0$ умножить на любое число? Получится $0$! Формально это можно записать так: Мы знаем, что $-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$. Если $x > 0$, то, умножив все части неравенства на $x$, получим: $$ -x \le x \sin \frac{1}{x} \le x $$ Если $x < 0$, то, умножив все части неравенства на $x$, знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \le x \sin \frac{1}{x} \le -x $$ Оба эти случая можно объединить, используя модуль: $$ -|x| \le x \sin \frac{1}{x} \le |x| $$ Теперь, когда $x \to 0$, то $|x| \to 0$ и $-|x| \to 0$. По теореме о двух милиционерах (или о сэндвиче), если две "крайние" функции стремятся к одному и тому же значению ($0$), то и "средняя" функция должна стремиться к этому же значению. Следовательно: $$ \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 $$ **Ответ: 0**