Реши уравнение $\frac{4y-7}{y+2} = \frac{2y-11}{y-6}$.

Привет! Давай вместе решим это уравнение. Такие уравнения называются дробно-рациональными, потому что в них есть дроби, где переменная $y$ находится в знаменателе. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать свойство пропорции: если две дроби равны, то произведение крайних членов равно произведению средних членов. Попроще говоря, мы можем перемножить числа "накрест" (числитель одной дроби на знаменатель другой). Но сначала, очень важно вспомнить, что знаменатель дроби никогда не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя! Поэтому у нас есть ограничения: 1. $y+2 \ne 0 \Rightarrow y \ne -2$ 2. $y-6 \ne 0 \Rightarrow y \ne 6$ Теперь давай перемножим "накрест": $$(4y-7)(y-6) = (2y-11)(y+2)$$ Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения. Помни, что каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки: $$(4y \cdot y) + (4y \cdot (-6)) + (-7 \cdot y) + (-7 \cdot (-6)) = (2y \cdot y) + (2y \cdot 2) + (-11 \cdot y) + (-11 \cdot 2)$$ $$4y^2 - 24y - 7y + 42 = 2y^2 + 4y - 11y - 22$$ Теперь приведём подобные слагаемые в каждой части уравнения: $$4y^2 - 31y + 42 = 2y^2 - 7y - 22$$ Теперь перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы в правой части остался ноль. Когда мы переносим слагаемое через знак равенства, мы меняем его знак на противоположный: $$4y^2 - 2y^2 - 31y + 7y + 42 + 22 = 0$$ Снова приведём подобные слагаемые: $$2y^2 - 24y + 64 = 0$$ Мы получили квадратное уравнение! Для удобства можно разделить все слагаемые на 2 (так как все они делятся на 2): $$\frac{2y^2}{2} - \frac{24y}{2} + \frac{64}{2} = \frac{0}{2}$$ $$y^2 - 12y + 32 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант $D$ находится по формуле $D = b^2 - 4ac$, а корни уравнения — по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. В нашем уравнении $y^2 - 12y + 32 = 0$: $a = 1$ $b = -12$ $c = 32$ Найдём дискриминант: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32$$ $$D = 144 - 128$$ $$D = 16$$ Так как $D > 0$, у нас будет два разных корня. Найдём корни $y_1$ и $y_2$: $$y_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$$ $$y_1 = \frac{12 + 4}{2}$$ $$y_1 = \frac{16}{2}$$ $$y_1 = 8$$ $$y_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$$ $$y_2 = \frac{12 - 4}{2}$$ $$y_2 = \frac{8}{2}$$ $$y_2 = 4$$ Теперь самое главное — проверить, не совпадает ли какой-либо из наших корней с теми значениями, которые мы исключили в самом начале ($y \ne -2$ и $y \ne 6$). Наши корни: $y_1 = 8$ и $y_2 = 4$. Оба корня не равны $-2$ и не равны $6$. Значит, оба корня подходят. **Ответ: $y_1 = 8$, $y_2 = 4$**