Сравни числа: А) 2√5-1 и 6 - √5

Привет! Давай вместе сравним числа. Чтобы это сделать, мы будем приводить их к такому виду, чтобы было легко понять, какое число больше. А) Сравним $$2\sqrt{5}-1$$ и $$6 - \sqrt{5}$$. Сначала перенесём все члены с корнями в одну сторону, а числа — в другую: $$2\sqrt{5} + \sqrt{5}$$ и $$6 + 1$$ $$3\sqrt{5}$$ и $$7$$ Теперь возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: $$(3\sqrt{5})^2$$ и $$7^2$$ $$3^2 \cdot (\sqrt{5})^2$$ и $$49$$ $$9 \cdot 5$$ и $$49$$ $$45$$ и $$49$$ Так как $$45 < 49$$, то и $$2\sqrt{5}-1 < 6 - \sqrt{5}$$. **Ответ: $$2\sqrt{5}-1 < 6 - \sqrt{5}$$** Б) Сравним $$\sqrt{7} - 1$$ и $$9 - 3\sqrt{7}$$. Снова перенесём корни в одну сторону, а числа — в другую: $$\sqrt{7} + 3\sqrt{7}$$ и $$9 + 1$$ $$4\sqrt{7}$$ и $$10$$ Возведём обе части в квадрат: $$(4\sqrt{7})^2$$ и $$10^2$$ $$4^2 \cdot (\sqrt{7})^2$$ и $$100$$ $$16 \cdot 7$$ и $$100$$ $$112$$ и $$100$$ Так как $$112 > 100$$, то и $$\sqrt{7} - 1 > 9 - 3\sqrt{7}$$. **Ответ: $$\sqrt{7} - 1 > 9 - 3\sqrt{7}$$** В) Сравним $$\left(3\sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2$$ и $$\left(3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2$$. Сначала упростим выражения внутри скобок, а потом возведём в квадрат. Для первой скобки: $$3\sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}} = 3\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{9\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$. Возведём в квадрат: $$\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{8^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{3^2} = \frac{64 \cdot 3}{9} = \frac{64 \cdot 1}{3} = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3}$$. Для второй скобки: $$3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$$. Возведём в квадрат: $$\left(\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{7^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{49 \cdot 2}{4} = \frac{49 \cdot 1}{2} = \frac{49}{2} = 24\frac{1}{2}$$. Теперь сравним результаты: $$21\frac{1}{3}$$ и $$24\frac{1}{2}$$. Очевидно, что $$21\frac{1}{3} < 24\frac{1}{2}$$. **Ответ: $$\left(3\sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2 < \left(3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2$$** Г) Сравним $$\left(2\sqrt{5} + \sqrt{\frac{1}{5}}\right)^2$$ и $$\left(2\sqrt{7} - \sqrt{\frac{1}{7}}\right)^2$$. Сначала упростим выражения внутри скобок. Для первой скобки: $$2\sqrt{5} + \sqrt{\frac{1}{5}} = 2\sqrt{5} + \frac{1}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{10\sqrt{5} + \sqrt{5}}{5} = \frac{11\sqrt{5}}{5}$$. Возведём в квадрат: $$\left(\frac{11\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{11^2 \cdot (\sqrt{5})^2}{5^2} = \frac{121 \cdot 5}{25} = \frac{121 \cdot 1}{5} = \frac{121}{5} = 24\frac{1}{5}$$. Для второй скобки: $$2\sqrt{7} - \sqrt{\frac{1}{7}} = 2\sqrt{7} - \frac{1}{\sqrt{7}} = 2\sqrt{7} - \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{14\sqrt{7} - \sqrt{7}}{7} = \frac{13\sqrt{7}}{7}$$. Возведём в квадрат: $$\left(\frac{13\sqrt{7}}{7}\right)^2 = \frac{13^2 \cdot (\sqrt{7})^2}{7^2} = \frac{169 \cdot 7}{49} = \frac{169 \cdot 1}{7} = \frac{169}{7} = 24\frac{1}{7}$$. Теперь сравним результаты: $$24\frac{1}{5}$$ и $$24\frac{1}{7}$$. Чтобы сравнить дроби $$\frac{1}{5}$$ и $$\frac{1}{7}$$, можно привести их к общему знаменателю или просто подумать: если мы делим единицу на 5 частей, то каждая часть больше, чем если мы делим единицу на 7 частей. Значит, $$\frac{1}{5} > \frac{1}{7}$$. Поэтому $$24\frac{1}{5} > 24\frac{1}{7}$$. **Ответ: $$\left(2\sqrt{5} + \sqrt{\frac{1}{5}}\right)^2 > \left(2\sqrt{7} - \sqrt{\frac{1}{7}}\right)^2$$**