Реши уравнение $(a^3 - a^2 - 4a + 4)x = a - 1$

Привет! Давай разберёмся с этим уравнением. Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что можно сгруппировать слагаемые: $$(a^3 - a^2 - 4a + 4)x = a - 1$$ $$ (a^2(a - 1) - 4(a - 1))x = a - 1$$ Теперь видно, что $(a - 1)$ — общий множитель, вынесем его: $$(a - 1)(a^2 - 4)x = a - 1$$ Дальше можно разложить $(a^2 - 4)$ как разность квадратов: $$(a - 1)(a - 2)(a + 2)x = a - 1$$ Теперь рассмотрим разные случаи, в зависимости от значения $a$. **Случай 1:** Если правая часть равна нулю, то есть $a - 1 = 0$, значит $a = 1$. Подставим $a = 1$ в уравнение: $$(1 - 1)(1 - 2)(1 + 2)x = 1 - 1$$ $$0 imes (-1) imes 3 imes x = 0$$ $$0x = 0$$ В этом случае любое значение $x$ является решением. Значит, при $a = 1$, $x$ — любое действительное число. **Случай 2:** Если множитель перед $x$ равен нулю, а правая часть не равна нулю. Это значит, что $a - 1 \neq 0$ и $(a - 1)(a - 2)(a + 2) = 0$. Это возможно, если $a - 2 = 0$ (то есть $a = 2$) или $a + 2 = 0$ (то есть $a = -2$). - Если $a = 2$: $$(2 - 1)(2 - 2)(2 + 2)x = 2 - 1$$ $$1 imes 0 imes 4 imes x = 1$$ $$0x = 1$$ Это уравнение не имеет решений, потому что умножив любое число на 0, мы никогда не получим 1. - Если $a = -2$: $$(-2 - 1)(-2 - 2)(-2 + 2)x = -2 - 1$$ $$(-3) imes (-4) imes 0 imes x = -3$$ $$0x = -3$$ Это уравнение тоже не имеет решений. **Случай 3:** Если множитель перед $x$ не равен нулю, то есть $(a - 1)(a - 2)(a + 2) \neq 0$. Это означает, что $a \neq 1$, $a \neq 2$, и $a \neq -2$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 1)(a - 2)(a + 2)$: $$x = \frac{a - 1}{(a - 1)(a - 2)(a + 2)}$$ Так как $a \neq 1$, мы можем сократить $(a - 1)$ в числителе и знаменателе: $$x = \frac{1}{(a - 2)(a + 2)}$$ Или, если захочешь, можно записать как: $$x = \frac{1}{a^2 - 4}$$ Теперь давай соберём все наши результаты: * **Если $a = 1$**, то $x$ — любое действительное число. * **Если $a = 2$ или $a = -2$**, то решений нет. * **Если $a \neq 1$, $a \neq 2$ и $a \neq -2$**, то $x = \frac{1}{(a - 2)(a + 2)}$.